Distribution d\'Erlang

La distribution d'Erlang de est une distribution de probabilité continue avec l'applicabilité large principalement due à sa relation du des distributions gamma exponentielles de et . La distribution d'Erlang a été développée par l'Erlang du A. pour examiner le nombre d'appels téléphoniques qui pourraient être faits en même temps aux opérateurs des stations de commutation. Ce travail sur la technologie de trafic de de téléphone a été augmenté pour considérer des délais d'attente dans les systèmes de queue en général. La distribution est maintenant employée dans le domaine des procédés stochastiques .

Vue d'ensemble

La distribution est une distribution continue, qui a une valeur positive pour tous les vrais nombres plus considérablement que zéro, et est donnée par deux paramètres : la forme $k$ , qui est un nombre entier, et le $de taux \ lambda$ , qui est un vrai nombre. La distribution est parfois définie using l'inverse du paramètre de taux, le $de balance \ theta$ .

Quand le paramètre $k$ de forme égale 1, la distribution simplifie à la distribution exponentielle .

La distribution d'Erlang est un cas spécial de la distribution gamma où le paramètre $k$ de forme est un nombre entier. Dans la distribution gamma, ce paramètre est un vrai nombre. < ! --

Histoire

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Caractérisation

Fonction de densité de probabilité

La fonction de densité de probabilité de la distribution d'Erlang est $f de (x ; k, \ lambda) = {\ lambda^k x^ {k-1} e^ {} - \ lambda X \ plus de (k-1) !}\ quadruple \ mbox {pour} x>0.$

là où le '' e '' est la base du logarithme naturel et du $!$ est la fonction factorielle . Le paramètre $k$ s'appelle le paramètre de forme et le $de paramètre \ lambda$ s'appelle le paramètre de taux. Une alternative, mais l'équivalent, paramétrisation emploie le $\ theta$ qui est simplement l'inverse du paramètre de taux (c. $= 1 \ lambda$ ) : $f de (x ; k, \ = de thêta) \ frac {e^ de x^ {k-1} {- \ frac {x} {\ thêta}}} {\ theta^k (k-1) !}\ quadruple \ mbox {pour} x>0.$

En raison de la fonction factorielle dans le dénominateur, la distribution d'Erlang est seulement définie quand le k de paramètre est un nombre entier positif. En fait, cette distribution s'appelle parfois la distribution d'erlang-k de (par exemple, une distribution Erlang-2 est une distribution d'Erlang avec le k=2 ). La distribution gamma généralise l'Erlang en permettant à son premier paramètre d'être une vraie, using la fonction gamma au lieu de la fonction factorielle.

Fonction de répartition cumulative

La fonction de répartition cumulative de la distribution d'Erlang est $F de (x ; =, de k \ lambda) \ frac {\ gamma (, de k \ lambda x)} {(k-1) !}$

là où le $\ gamma ()$ est la fonction gamma inachevée inférieur. Le CDF peut également être exprimé en tant que $) = 1 \ sum_ {n=0} {k-1} {- \ lambda X} x)^ (\ lambda {n} /n !$

Occurrence

Délais d'attente

Des événements qui se produisent indépendamment avec un certain taux moyen sont modelés avec un processus de Poisson . Les délais d'attente entre les occurrences du k de l'événement sont Erlang distribué. (La question relative du nombre d'événements en nombre de heures donné est décrite par la loi de Poisson De .)

La distribution d'Erlang, qui mesure le temps entre les appels d'arrivée, peut être employée en même temps que la durée prévue des appels d'arrivée pour produire des informations sur la charge de la circulation mesurée dans les unités d'Erlang de que ceci peut être employé pour déterminer la probabilité de la perte ou du retard de paquet, selon de diverses prétentions faites au sujet de si des appels bloqués sont avortés (formule d'Erlang B) ou alignés jusqu'à servi (formule d'Erlang C). Les formules de l'Erlang B et du C sont toujours dans l'utilisation journalière pour le trafic modelant pour des applications telles que la conception des centres d'attention téléphonique

Modèles de compartiment

La distribution d'Erlang se produit également comme description du taux de transition des éléments par un système des compartiments. De tels systèmes sont employés couramment en biologie et écologie.

Procédés stochastiques

La distribution d'Erlang est la distribution de la somme de variables aléatoires identiquement distribuées de l'indépendant du k chacune qui a une distribution exponentielle .

Voir également Phase-type gamma distribution de de
du calcul
d'Engset de de
de l'unité
d'Erlang de de
du processus de Poisson de de
de la distribution
de Coxian de de
de la loi de Poisson De de
de la distribution
de de
de la distribution exponentielle
de de
de la formule
de l'Erlang B de

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