Disjoindre l\'union

Dans la théorie des ensembles , un disjoignent l'union (ou le distingué union ) est une opération modifiée des syndicats qui indexe les éléments selon lesquels les placer a provenu.

Formellement, laisser { i de _{de A : le I de ∈ du i } soit une famille des ensembles répertoriés par le I . disjoignent union de ce famille est ensemble

$\ coprod_ {I \ dedans I} A_i = \ bigcup_ {I \ dedans} d'I \ {(x, i) : X \ dans A_i \}.$ Les éléments de l'union de disjonction sont les paires commandées par ( X , i ). Ici le i sert d'index auxiliaire qui indique de quel i} de _{du A le X d'élément est venu. Chacun du i} de _{du A d'ensembles est canoniquement inclus dans l'union de disjonction en tant que = de $A_i^* de d'ensemble \ {(x, i) : X \ dans A_i \}.$ Pour le j de ≠ du i , le j}* de _{du i}* et du A de _{du A d'ensembles être disjoignent même si le j} de _{du i} et du A de _{du A d'ensembles ne sont pas.}

Dans le cas extrême où chacun du i de _{du A} est égal à un certain fixe d'ensemble A pour chaque I de ∈ du i , l'union de disjonction est le produit cartésien du A et du I : $de \ coprod_ {I \ dedans I} A_i = A \ périodes I.$

On peut de temps en temps voir le $de de notation \ sum_ {I \ dedans I} A_i$ pour l'union de disjonction d'une famille des ensembles, ou le A de notation + B pour l'union de disjonction de deux ensembles. Cette notation est censée pour être suggestive du fait que la cardinalité de l'union de disjonction est la somme des cardinalities des limites dans le famille. Comparer ceci à la notation pour le produit cartésien d'une famille des ensembles.

Dans la langue de la théorie de catégorie de , l'union de disjonction est le Coproduct dans la catégorie de des ensembles . Elle satisfait donc la propriété universelle associé. Ceci signifie également que l'union de disjonction est le duel catégorique de la construction du produit cartésien . Voir le Coproduct pour plus de détails.

Pour beaucoup de buts, le choix particulier de l'index auxiliaire est sans importance, et dans un abus de simplification de de la notation , la famille répertoriée peut être traitée simplement comme collection d'ensembles. Dans ce cas-ci $A_i^*$ désigné sous le nom d'une copie $A_i$ et la notation $\ bigcup_ {A \ dans C} {^*} A$ est parfois employé.

Le de limite disjoignent l'union (mais pas l'union distinguée par ) est également employé pour se rapporter à une union d'une collection d'ensembles dont les membres sont disjoignent par paires . Dans ce cas-ci l'union de disjonction peut être identifiée avec l'union simple, et la même notation est employée. Cette utilisation est plus commune dans de l'informatique.

Formellement, si $C$ est une collection d'ensembles, puis $de \ bigcup_ {A \ dans C} A$ est une union de disjonction dans ce de sens si et seulement si pour tout le A et B dans le $A de du C \ quantité nette de substance explosive B \ implique = d'A \ chapeau B \ varnothing.$

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