Discriminant

Dans l'algèbre , le discriminant d'un polynôme avec les vrais ou complexes coefficients est une certaine expression dans les coefficients du polynôme qui est égal à zéro si et seulement si le polynôme a une racine multiple (c. une racine avec multiplicité plus considérablement qu'un de ) dans les nombres complexes . Par exemple, le discriminant du   du
$ax^2+bx+c$ de
de polynôme quadratique ;   ;   ;   ;   ; est le   ;   ;   ;   ;   ; $b^2-4ac$. Le discriminant du   polynôme cubique du
$ax^3+bx^2+cx+d$ de
;   ;   ;   ;   ; est le   ;   ;   ;   ;   ; $b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd$.

Ce concept s'applique également si le polynôme a des coefficients dans un domaine qui n'est pas contenu dans les nombres complexes. Dans ce cas-ci, le discriminant disparaît si et seulement si le polynôme a les racines multiples dans son domaine de division . Le discriminant est donné près

là où $a\_n$ est le principaux coefficient et $r\_1,\dots ,\; r\_n$ sont les racines (comptant multiplicité ) du polynôme dans un certain domaine de division.

Le concept de discriminant a été généralisé à d'autres structures algébriques sans compter que des polynômes, y compris les formes d'équation quadratique de des sections coniques et les champs de nombres algébriques . Discriminants dans la théorie de nombre algébrique de sont étroitement liés, et contiennent des informations sur la ramification . En fait, les types plus géométriques de ramification sont également liés à des types plus abstraits de discriminant, faisant à ceci une idée algébrique centrale dans beaucoup d'applications.

Formule pour le discriminant

le polynôme quadratique $ax^2+bx+c$ a le
discriminant de
$D=b^2-4ac\; ;$

• le polynôme cubique $ax^3+bx^2+cx+d$ a le
  discriminant de
  $de$

\ Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.

Des polynômes plus simples ont des expressions plus simples pour leurs discriminants. Par exemple,
le polynôme quadratique monic $x^2+bx+c$ du a le
discriminant de
$D=b^2-4c\; ;$

• le polynôme cubique monic $x^3+bx^2+cx+d$ a le   discriminant ;   ;   ;   ;   ; $de$

\ Delta=b^2c^2-4c^3-4b^3d-27d^2+18bcd ;

• le polynôme cubique monic sans limite quadratique $x^3+px+q$ a le
  discriminant de
  $de$

\ Delta=-4p^3-27q^2.

Le discriminant dans la formule quadratique

Le P ( X ) du polynôme quadratique = la hache de ² + bx de + c a le discriminant D = &minus du b ² ; C. , qui de 4 est la quantité sous la racine carrée signent dedans la formule quadratique . Pour les vrais nombres a, b, c, un a :

• When le D > 0, le P ( X ) a deux = distincts de $x\_\; de\; vraies\; racines\; 1.\; \backslash racinecarrée\; \{b^2-4ac\}\}\; \{2a\}$, et son graphique croise le X - axe deux fois.
• When le D = 0, le P ( X ) a deux vraies racines coïncidentes $x\_1=x\_2=-\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{2a\}$, et son graphique est tangente au X - axe.
• When le D < 0, le P ( X ) n'a aucune vraie racine, et son graphique se trouve strictement au-dessus ou au-dessous du X - axe.

Discriminant d'un polynôme

Le discriminant du $p\; polynôme\; général\; de\; (+\; de\; x^\; de\; x^\; de\; x)=a\_n\; x^n+a\_\; \{n-1\}\; \{n-1\}\; +a\_\; \{N2\}\; \{N2\}\; \backslash \; ldots+a\_1\; x+a\_0$ est, jusqu'à un facteur, l'égale au déterminant du (2   de n ; &minus ;   ; 1)× ; (2   de n ; &minus ;   ; 1) matrice (voir la matrice de Sylvester de ) $de$

\ parti (\ commencer {matrice} et a_n et a_ {n-1} et a_ {N2} et \ ldots et a_1 et a_0 et 0 \ ldots et \ ldots et 0 \ \ et 0 et a_n et a_ {n-1} et a_ {N2} et \ ldots et a_1 et a_0 et 0 \ ldots et 0 \ \ et \ vdots \ \ de &&&&&&&& \ vdots \ et 0 et 0& \ ldots \ et 0 et a_n et a_ {n-1} et a_ {N2} et \ ldots et a_0 \ \ et na_n et a_ (n-1) {n-1} et a_ (de N2) {N2} et \ ldots \ et 1a_1 et 0 et \ ldots et \ ldots et 0 \ \ et 0 et na_n et a_ (n-1) {n-1} et a_ (de N2) {N2} et \ ldots \ et 1a_1 et 0 et \ ldots et 0 \ \ et \ vdots \ \ de &&&&&&&& \ vdots \ et 0 et 0 et \ ldots et 0 et 0 et na_n et a_ (n-1) {n-1} et \ ldots \ et 1a_1 \ \ \ extrémité {matrice} \ droit).

La cause déterminante de cette matrice est connue comme résultant du $p\; (x)$ et $p\text{'}(x)$, $R\; de\; notation\; (p,\; p\text{'})$. Le $D\; discriminant\; (p)$ de $p\; (x)$ est maintenant donné par le $D\; de\; de\; formule\; ^\; (de\; p)=\; (-\; 1)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; n\; (n-1)\}\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_n\}\; R\; (p,\; p\text{'})\; \backslash ,$.

Par exemple, dans le n de cas = 4, la cause déterminante ci-dessus est le $de$

\ commencent {vmatrix} et a_4 et a_3 et a_2 et a_1 et a_0 et 0 et 0 \ \ et 0 et a_4 et a_3 et a_2 et a_1 et a_0 et 0 \ \ et 0 et 0 et a_4 et a_3 et a_2 et a_1 et a_0 \ \ et 4a_4 et 3a_3 et 2a_2 et 1a_1 et 0 et 0 et 0 \ \ et 0 et 4a_4 et 3a_3 et 2a_2 et 1a_1 et 0 et 0 \ \ et 0 et 0 et 4a_4 et 3a_3 et 2a_2 et 1a_1& 0 \ \ et 0 et 0 et 0 et 4a_4 et 3a_3 et 2a_2 et 1a_1 \ \ \ extrémité {vmatrix}

Le discriminant du polynôme du degré 4 est alors obtenu à partir de cette cause déterminante lors de la division par $a\_4$. D'une manière equivalente, le discriminant est égal à

là où le r ₁,…, le n de _{du r sont les racines complexes du (comptant multiplicité ) du polynôme p (x) : le $de$}

\ commencent {matrice} p (\ + de x^ de x)&=&a_n x^n+a_ {n-1} {n-1} \ ldots+a_1 x+a_0 \ &=&a_n (x-r_1) (x-r_2) \ ldots) (de x-r_n \ extrémité {matrice}

Cette deuxième expression explique que, le p a un de racine multiple si et seulement si le discriminant est zéro. (Cette racine multiple peut être complexe.)

Le discriminant peut être défini pour des polynômes au-dessus des champs arbitraires exactement de la même mode comme ci-dessus. La formule de produit impliquant le i de _{du r de racines demeure valide ; les racines doivent être rentrées un certain champ de division du polynôme.}

Discriminant d'une section conique

Pour une section conique définie par le vrai polynôme : hache de

² + bxy + CY ² + dx de + ey + f = 0,

le discriminant est égal à b ²  de

; &minus ;   ; C. , de 4

et détermine la forme de la section conique. Si le discriminant est moins de 0, l'équation est d'une ellipse ou d'un cercle . Si les égales discriminantes 0, l'équation est celle d'une parabole . Si le discriminant est plus grand que 0, l'équation est celle d'une hyperbole . Cette formule ne fonctionnera pas pour des cas dégénérés (quand le polynôme factorise).

Discriminant d'une forme quadratique

Il y a une généralisation substantive au des formes d'équation quadratique de Q au-dessus de n'importe quel K du champ du ≠ caractéristique 2. Celles-ci peuvent être écrites comme somme de limites

un L i ² du i de _{de de de}

là où le L le i de _{de sont les formes linéaires et 1 n de ≤ du i de ≤ où le n est le nombre de variables. Alors le discriminant est le produit du par i} , le rentré K / K ² de _{de , et est alors bien défini (c. Une manière plus invariable de dire ceci est comme (la classe de) cause déterminante d'une matrice symétrique pour le Q .}

Discriminant d'un champ de nombres algébriques

Voir l'article principal, discriminant d'un champ de nombres algébriques .

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