Discrétisation

Dans les mathématiques , la discrétisation concerne le processus de transférer les modèles et les équations continus du dans les contre-parties discrètes du . Ce processus habituellement est suivi dans un premier temps vers les rendre appropriées à l'évaluation et à l'exécution numériques sur les calculateurs numériques. Afin d'être traité sur un calculateur numérique une autre quantification appelée de processus il est essentielle.
discrétisation d'Euler
prise de Zéro-ordre de

La discrétisation est également liée aux mathématiques discrètes , et est un composant important du de calcul granulaire. Dans ce contexte, la discrétisation de peut également se rapporter à la modification de la variable de la granularité catégorie, comme quand des variables discrètes multiples sont agrégées ou des catégories discrètes multiples sont fondues.

Discrétisation des modèles d'espace d'état linéaire

La discrétisation est également concernée par la transformation des équations continu dans les équations à différences discrètes , appropriée au de calcul numérique.

Le $continu\; suivant\; de\; du\; modèle\; d\text{'}espace\; d\text{'}état\; \backslash \; =\; de\; point\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; (t)\; \backslash \; +\; du\; mathbf\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\; +\; \backslash \; =\; de$ \backslash \; mathbf$$
du mathbf {v} (t) {y} (t) \ + du mathbf C \ mathbf {x} (t) \ + du mathbf D \ mathbf {u} (t) \ mathbf {W} (t) là où le v et le W sont continus zéro-signifier les sources de bruit blanc avec le $de\; de\; covariances\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; (t)\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash $ $$
de mathbf Q) \ mathbf {W} (t) \ sim N (0, \ mathbf R) peuvent être discrétisées, la prise arrogante de Zéro-ordre de pour le u d'entrée et l'intégration continue pour le de bruit v , au = de $\backslash \; mathbf\; de\; \{x\}\; \backslash \; +\; de\; mathbf\; A\_d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; B\_d\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; +\; \backslash \; =\; de$ \backslash \; mathbf$$
du mathbf {v} {y} \ + de mathbf C_d \ mathbf {x} \ + de mathbf D_d \ mathbf {u} \ mathbf {W} avec covariance

$\backslash \; mathbf\; \{v\}\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; mathbf\; Q\_d)$
$\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; W\; \backslash \; sim\; N\; (0,\; \backslash \; mathbf\; R\_d)$ là où

$\backslash \; mathbf\; A\_d\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; A\; T\}\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; \{(s\; \backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; mathbf\; A)^\; \{-\; 1\}\; \backslash \}\; =\; de\; B\_d\; de$ \backslash \; mathbf\; \_\; \{t=T\}$\backslash \; laissé\; (\backslash \; e^\; ^\; d\text{'}int\_\; \{\backslash \; tau=0\}\; \{T\}\; \{\backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; tau\}\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; droit)\; \backslash \; =\; de\; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; A^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; A\_d\; -\; I)\; \backslash \; mathbf\; B$, si le $\backslash \; mathbf\; A$ est = de C_d $non\; singulier\; \backslash \; mathbf\; \backslash \; mathbf\; C$ $de$
\ mathbf D_d = \ $$
du mathbf D \ mathbf Q_d = \ e^ ^ d'int_ {\ tau=0} {T} {\ mathbf A \ tau} \ e^ du mathbf Q {\ mathbf A^T \ tau} = de R_d de $\backslash \; mathbf\; d\; \backslash \; tau$ \ mathbf R et $T$ est le temps d'échantillon.

Dérivation

Commencer par le $de\; de\; modèle\; continu\; \backslash \; =\; de\; mathbf\; \{\backslash \; point\; \{x\}\}\; (t)\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; mathbf\; X\; (t)\; +\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ nous savent que Matrix exponentiel est

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; à\}\; =\; \backslash \; mathbf\; A\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; à\}\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; A$ et par prémultipliant modèle nous obtiennent

$e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; point\; \{x\}\}\; (t)\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \; mathbf\; X\; (t)\; +\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ quel nous reconnaissent en tant que

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; (e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; X\; (t))\; =\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (t)$ et par l'intégration.

$e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; au\}\; \backslash \; mathbf\; X\; (t)\; -\; e^0\; \backslash \; mathbf\; X\; (0)\; =\; \backslash \; int\_0^t\; e^\; \{-\; \backslash \; mathbf\; A\; \backslash \}\; de\; tau\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u\; (\backslash \; tau)\; d\; \backslash $ $$
de tau \ mathbf X (t) = e^ {\ mathbf à} \ 0) e^ + de mathbf X (\ int_0^t {\ mathbf A (t \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau ce qui est une solution analytique au modèle continu.

Maintenant nous voulons discrétiser l'expression ci-dessus. Nous supposons qu'u est le constant pendant chaque timestep.

$\backslash \; mathbf\; X\; \backslash \; \backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; \backslash $ $$
du mathbf X (kT) \ mathbf X = e^ {\ mathbf AkT} \ 0) e^ + du mathbf X (\ int_0^ {kT} {\ mathbf A (kT- \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ $$
de tau \ mathbf X = e^ {\ mathbf A (k+1) T} \ 0) e^ + du mathbf X (\ int_0^ {(k+1) T} {\ mathbf A ((k+1) t \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ $$
de tau \ mathbf X = e^ {\ mathbf À} \ e^ laissé {\ mathbf AkT} \ 0) e^ + du mathbf X (\ int_0^ {kT} {\ mathbf A (kT- \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau \ right+ \ e^ ^ de l'int_ {kT} {(k+1) T} {\ mathbf A (kT+T- \ tau)} \ mathbf B \ mathbf u (\ tau) d \ tau Nous identifions l'expression encadrée comme $\backslash \; mathbf\; x$, et la deuxième limite peut être simplifiée en substituant le $v\; =\; le\; kT\; +\; -\; de\; T\; \backslash \; tau$. Nous aussi supposent que $\backslash \; mathbf\; u$ est constant pendant intégral , qui alternativement rapporte

$\backslash \; mathbf\; X\; =\; e^\; \{\backslash \; mathbf\; À\}\; \backslash \; mathbf\; X\; +\; \backslash \; à\; gauche\; dv\; d\text{'}e^\; (\backslash \; int\_0^T\; \{\backslash \; mathbf\; poids\; du\; commerce\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$ ce qui est une solution exacte au problème de discrétisation.

Approximations

La discrétisation exacte peut parfois être due insurmontable à la matrice lourde exponentielle et aux opérations intégrales impliquées. Il est beaucoup facile pour calculer approximatif discret modèle, basé sur cela pour petit timesteps $e^\; \{\backslash \; mathbf\; à\}\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; +\; de\; mathbf\; I\; \backslash \; mathbf\; A\; T$. La solution approximative devient alors :

$\backslash \; mathbf\; X\; \backslash \; approximativement\; (\backslash \; +\; de\; mathbf\; I\; \backslash \; mathbf\; À)\; \backslash \; mathbf\; X\; +\; (\backslash \; mathbf\; I\; T\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T^2)\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$ quel peut loin être rapproché si $\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T^2$ est petit ; rapportant

$\backslash \; mathbf\; X\; \backslash \; approximativement\; (\backslash \; +\; de\; mathbf\; I\; \backslash \; mathbf\; à)\; \backslash \; mathbf\; X\; +\; T\; \backslash \; mathbf\; B\; \backslash \; mathbf\; u$

Autre possible approximation sont $e^\; \{\backslash \; mathbf\; À\}\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash \; droit)\; ^\; \{-\; 1\}$ et $e^\; \{\backslash \; mathbf\; À\}\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; mathbf\; I\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash )\; droit\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; mathbf\; I\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; A\; T\; \backslash \; droit)\; ^\; \{-\; 1\}$. Chacun de eux a différentes propriétés de stabilité. Dernier est connu en tant que bilinéaire transforment, ou Tustin transforment, et des conserves la stabilité (l'ONU) du système de continu-temps.

Random links:

Les vies du Bengale Lancer | Formule de Rydberg | Kaminia | Duché de Spoleto | Manteau de Kotwica des bras | Discretización

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org