Differintegral

Dans les mathématiques , le differintegral est la différentiation combinée /opérateur intégration utilisé dans le calcul partiel . L'opérateur ne définit pas une fonction séparée, mais est un modèle de notation pour prendre le dérivé partiel et l'intégrale partielle de la même expression. Cet opérateur est ici dénoté $de$

\ mathbb {D} ^q_t.

Voir la page sur le calcul partiel pour le contexte général.

Définitions standard

Les trois formes les plus communes sont :

le
differintegral de
de Riemann-Liouville ceci est le plus simple et le plus facile pour employer, et par conséquent il est le plus employé souvent. C'est une généralisation de la formule de Cauchy de pour l'intégration répétée à l'ordre arbitraire.

Les définitions par l'intermédiaire de transforme

Rappeler la transformée de Fourier continue , $ici\; dénoté\; \backslash \; \{F\}$ mathcal de :

$F\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; \{=\; de\; f\; (t)\; \backslash \}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; f\; (t)\; e^\; \{-\; I\; \backslash \}\; d\text{'}Omega\; t\; \backslash ,\; décollement$

Using la transformée de Fourier continue , dans l'espace de Fourier, la différentiation transforme en multiplication :

$\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; est\; parti\; =\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; de\; F\; \backslash \; à\; gauche\; =\; I\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \{F\}$ mathcal

Ainsi, $de$

\ mathbb {D} f (t) = \ mathcal ^ {F} {- 1} \ laissé \ {(I \ Omega) \ mathcal {F} \ droit \}

à ce que généralise

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; ^qf\; (t)=\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{F\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; laissé\; \backslash \; \{(I\; \backslash \; Omega)\; ^q\; \backslash \; mathcal\; \{F\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}.$

Sous le Laplace transformer , ici dénoté par le $\backslash \; \{L\}$ mathcal, différentiation transforme en multiplication

$\backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; estparti=\; s^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; mathcal\; \{L\}.$

Généralisant à arbitraire ordre et résolvant pour D^qf (t) , un obtient

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; ^qf\; (t)=\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{L\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; à\; gauche\; \backslash \; \{s^\; \{-\; q\}\; \backslash \; mathcal\; \{L\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}.$

Propriétés formelles de base

La linéarité de ordonne le $de\; de\; \backslash \; ^\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (x+y)=\; \backslash \; ^\; de\; mathbb\; \{D\}\; \{q\}\; (x)+\; \backslash $ de$$
^ de mathbb {D} {q} (y) \ =a ^ de mathbb {D} {q} (hache) \ ^ du mathbb {D} {q} (x)

$de\; de\; la\; règle\; de\; composition\; en\; (ou\; semigroupe\; )\; \backslash \; ^a\; du\; mathbb\; \{D\}\; \backslash \; ^\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{b\}\; x\; =\; \backslash \; ^\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{a+b\}\; x$

$de\; de\; la\; règle\; de\; \backslash \; ^\; nuls\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{0\}\; x=x$

$de\; de\; la\; règle\; de\; sous-classe\; de\; \backslash \; x=d^\; ^\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{a\}\; \{a\}\; x$ pour le un un nombre normal de

Règle de produit de du differintegration $de$

\ ^q_t du mathbb {D} (de x/y) = \ ^ du sum_ {j=0} {\ infty} {q \ choisissent j} \ ^j_t du mathbb {D} (x) \ _t ^ de mathbb {D} {q-j} (y)

Quelques formules de base

$de$

\ ^ du mathbb {D} {q} (t^n)= \ frac {\ gamma (n+1)} {\ gamma (n+1-q)}$de$
du t^ {nq} \ $de$
^ du mathbb {D} {q} (\ = de péché (t)) \ péché \ parti (t+ \ frac {q \ pi} {2} \ droit) \ e^ du =a^ ^ du mathbb {D} {q} (e^ {à}) {q} {à}

Voir également

Intégrateur partiel d'ordre de

.

Random links:

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