Diffeology

chaque carte constante est une parcelle de terrain.
Pour une carte donnée, si chaque point dans le domaine a un voisinage tels que la restriction de la carte à ce voisinage est une parcelle de terrain, puis la carte elle-même est une parcelle de terrain.
Si le p est une parcelle de terrain, et le f est une fonction douce d'un sous-ensemble ouvert d'un certain vrai espace de vecteur dans le domaine du p , alors le f du p o de composition est une parcelle de terrain. Noter que les domaines de différentes parcelles de terrain peuvent être des sous-ensembles de n de ^{du R pour différentes valeurs du n .}

Un ensemble ainsi qu'un diffeology s'appelle un espace diffeological .

Une carte entre les espaces diffeological s'appelle le différentiable si et seulement si la composition de lui avec chaque parcelle de terrain du premier espace est une parcelle de terrain du deuxième espace. C'est un diffeomorphism s'il est différentiable, le bijectif de , et son inverse est également différentiable.

Les espaces diffeological, ainsi que les cartes différentiables en tant que forme de Morphisms une catégorie . Les isomorphisms dans cette catégorie sont juste les diffeomorphisms définie ci-dessus.

Un espace diffeological a la D-topologie : la topologie la plus fine tels que toutes les parcelles de terrain sont le continu.

Si le Y est un sous-ensemble du diffeological X de l'espace, alors le Y est lui-même un espace diffeological d'une manière normale : les parcelles de terrain du Y sont ces parcelles de terrain du X dont les images sont des sous-ensembles de Y .

Si le X est un espace diffeological et le ~ est une certaine relation d'équivalence sur le X , alors le quotient réglé X/~ de a le diffeology produit par toutes les compositions des parcelles de terrain du X avec la projection du X au X /~. Ceci s'appelle le diffeology de quotient de . Noter que la D-topologie de quotient de est la D-topologie du diffeology de quotient.

La notion d'un produisant du famille , due au Patrick Iglesias , est commode en définissant des diffeologies : un ensemble de parcelles de terrain est une famille se produisante pour un diffeology si le diffeology est le plus petit diffeology contenant toutes les parcelles de terrain données. Dans ce cas, nous disons également que le diffeology est produit par les parcelles de terrain données.

Tubulures douces

Les tubulures différentiables généralisent également la douceur. Elles sont normalement définies comme tubulures topologiques avec un atlas, dont les cartes de transition sont lisses, qui est employé pour retirer la structure différentielle.

Chaque tubulure douce définie de cette façon a un diffeology normal, pour lequel les parcelles de terrain correspondent aux cartes lisses des sous-ensembles ouverts de n de ^{du R à la tubulure. Avec ce diffeology, une carte entre deux tubulures douces est lisse si et seulement si elle est différentiable dans le sens diffeological. Par conséquent les tubulures douces avec les cartes lisses forment une pleine sous-catégorie des espaces diffeological.}

Ceci permet à on de donner une définition alternative de la tubulure douce qui ne fait aucune référence aux cartes de transition ou à un atlas spécifique : une tubulure douce est un espace diffeological qui est localement diffeomorphic au n de ^{du R .}

Le rapport entre les tubulures douces et les espaces diffeological est analogue au rapport entre les tubulures topologiques et les espaces topologiques.

Exemples

n'importe quel sous-ensemble ouvert du d'un vrai fini-dimensionnel, et donc de complexe, l'espace de vecteur est un espace diffeological.
N'importe quelle tubulure douce est un espace diffeological.
N'importe quel quotient d'un espace diffeological est un espace diffeological. C'est une manière simple de construire des diffeologies de non-tubulure. Par exemple, l'ensemble de R des vrais nombres est une tubulure douce. Le de quotient R /( Z + Z de α), pour un certain α irrationnel du , est le tore irrationnel , un espace diffeological de diffeomorphic au quotient du Z ² du R ²/de tore du militaire de carrière 2 par une ligne de α de la pente . Il a un diffeology non trivial, mais sa D-topologie est la topologie insignifiante .