Diagramme de Johnston

Le Johnston diagrams , qui semblent semblables au Euler ou les diagrammes de Venn de illustrent la logique propositionnelle formel d'une façon visuelle. Logiquement ils sont équivalents aux tables de vérité ; certains peuvent les trouver plus faciles à comprendre d'un coup d'oeil. En recouvrant un diagramme de Johnston sur des autres, des déductions peuvent être faites à partir des ensembles de propositions.

Supposer qu'on le désire pour composer des rapports logiques du décrivant l'état actuel des évènements actuels dans le monde (ou peut-être au sujet des situations imaginaires dans un monde imaginaire ). Laisser l'ensemble universel contenir (comme éléments) tous les états possibles dans lesquels le monde pourrait trouver lui-même. Seulement un d'une variété (peut-être infini) d'éléments représente l'état réel du monde. Tous autres éléments représentent les états alternatifs du &mdash du monde ; " ; Quot possible des mondes ;. Ainsi, l'ensemble universel représente l'espace de toutes les possibilités logiques.

Puis, l'objectif d'un rapport logique devrait être de dire quelque chose au sujet de l'état du monde réel. La manière ceci sera &mdash fait ; using Johnston diagrams le &mdash ; est noircir dehors les régions de l'ensemble universel qui contiennent les éléments qui représentent les états alternatifs du monde qui ne pourrait pas probablement être l'état du monde réel.

Ainsi les régions noires du sur un diagramme de Johnston sont " ; régions d'impossibility" ; , tandis que les régions blanches du sont " ; régions de possibility" ; : un (et seulement un) des éléments dans les régions de la possibilité décrit le " ; world" ; comme il est réellement. L'objectif est de rétrécir vers le bas la région de la possibilité autant que possible, jusqu'à un unique qui décrit la réalité.

Laisser l'ensemble universel être représenté par un rectangle . Commencer dehors par dessiner une courbe fermée (par exemple un cercle ) à l'intérieur de l'ensemble universel. Le cercle sépare l'ensemble universel dans une paire de régions. Laisser le cercle s'appeler le A . Les points à l'intérieur ou sur du cercle sont des membres du A ; les points en dehors du cercle ne sont pas des membres du A , mais sont des membres du $\ de barre {A}$ , le complément du A .

Laisser maintenant la région du complément du A être noirci dehors (voir le schéma 1). diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; A est true" ;.

Alors la région de la possibilité est devenue équivalente au A d'ensemble, ainsi le schéma 1 est un diagramme de Johnston représentant le propositionnel A de rapport.

Mais si, au lieu de cela, la région à l'intérieur du A est noircie et la région dehors qu'elle a blanchie, alors la région de la possibilité être équivalent au complément du A (voir que le schéma 2) et le diagramme représenteront le $de rapport \ neg propositionnels A$ : " ; pas A" ;. diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; A n'est pas true" ;.

Dessiner un autre &mdash de cercle ; intersection du premier &mdash de cercle ; et l'appeler le B . L'intérieur de points ce deuxième cercle sont des membres du B , et des points dehors ce sont des membres du $\ de barre {B}$ .

Si la région à l'intérieur du B est blanchie et la région dehors elle est noircie (voir le schéma 3), le diagramme en résultant est équivalent au B de rapport, le schéma 3. diagramme de

de Johnston représentant le rapport : " ; B est true" ;.

mais si la région à l'intérieur du B est noircie et la région dehors il est blanchi (voir le schéma 4), le diagramme en résultant est équivalent au $de rapport \ au neg B$ (" ; pas B" ;). diagramme de

de Johnston représentant le rapport : " ; B n'est pas true" ;.

Une paire de rapports peut être combinée au moyen de logique ET opérateur . Pour combiner une paire de diagrammes de Johnston using ET l'opérateur, superpose les de sorte que les éléments (points) ces finissent vers le haut sur l'un l'autre (dans la superposition) soient identiquement équivalent et représentent le même état possible du monde.

Noircir alors dehors le diagramme combiné comme suit : si un point appartient à l'espace d'impossibilité au moins d'un des deux rapports composants, alors il appartient à l'espace d'impossibilité des deux rapports. Ainsi, combinant schéma que 1 et 3 au moyen d'ET opérateur produit le schéma 5, équivalent au $propositionnel de rapport A \ cale B$ (" ; A et B" ;), et schéma que l'espace de 5 possibilités est le $d'ensemble A \ chapeau B$ (" ; Une intersection B" de ;). diagramme de

de Johnston représentant le rapport : " ; A et B sont true." ;

Une paire de rapports peut également être combinée au moyen de logique OU opérateur . Pour faire ainsi, superpose leurs diagrammes de Johnston, et noircir dehors les diagrammes combinés comme suit : si un point appartient aux espaces d'impossibilité des deux diagrammes composants, alors il appartient à l'espace d'impossibilité du diagramme combiné. Autrement, s'il appartient au moins à l'un espace composant de possibilité, puis lui appartient à l'espace combiné de possibilité.

Ainsi, combinant schéma que 1 et 3 au moyen d'OU opérateur produit le schéma 6, équivalent au $propositionnel de rapport A \ vé B$ (" ; A ou B" ;), et schéma que l'espace de 6 possibilités est le $d'ensemble A \ tasse B$ (" ; Une union B" de ;). diagramme de

de Johnston représentant le rapport : " ; A ou B est true." ; (A ou B (ou tous les deux) sont vrai.)

Il est également possible d'appliquer l'opérateur logique PAS à un diagramme de Johnston pour obtenir sa négation . Pour faire ainsi, permuter les espaces de possibilité et d'impossibilité du diagramme donné. Ce signifie pour blanchir des régions noires tout en simultanément noircissant les régions blanches. Le diagramme en résultant représentera un rapport qui nie le rapport représenté par le diagramme original.

Comme exemple, l'application PAS de l'opérateur pour schéma 1 rapporte le schéma 2 : le A de rapport devient $de rapport \ neg A$ . Un autre exemple est pour s'appliquer PAS opérateur pour schéma 6, obtenant le schéma 7 dont impossibilité l'espace est ensemble $A \ tasse B$ et dont impossibilité l'espace est ensemble $\ overline {A \ tasse B} = \ barre {} d'A \ chapeau \ barre {B}$ , et qui représente le $de rapport \ neg logiques (A \ vé B)$ qui est &mdash équivalent ; en raison du &mdash de la loi de De Morgan ; au $de rapport \ au neg A \ coincer \ neg B$ (" ; pas A et pas B" ;). diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; Ni A ni B n'est true" ;.

Noter que le schéma 7 peut également être obtenu en combinant les schémas 2 et 4 au moyen d'ET opérateur.

Le A de rapports et le B peuvent également être combinés pour former le $de rapport A \ rightarrow B$ (" ; A implique B" ;). Pour représenter ceci avec Johnston diagramme, laisser son possibilité l'espace être équivalent à ensemble $\ barre {} d'A \ tasse B$ . Ainsi, le $de rapport A \ rightarrow B$ peut être représenté en combinant les schémas 2 et 3 au moyen d'OU opérateur. Le résultat est affiché sur le schéma 8, à savoir le schéma 8. diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; A implique B" ; ou " ; si A puis B" ; ou " ; A est vrai seulement si B est true." ;

En regardant le schéma 8 on peut clairement voir que SI l'état réel du monde est décrit par un membre du A d'ensemble, ALORS ce membre appartient également au B (le " d'ensemble ; world" réel ; peut seulement se trouver en dessous de l'espace de possibilité montré dans le blanc).

De même, le A de rapports et le B peuvent être combinés pour former le $de rapport B \ rightarrow A$ (" ; B implique A" ;). Johnston diagramme pour ce rapport doit avoir possibilité l'espace équivalent à ensemble $\ barre {} de B \ tasse A$ . Ainsi, le $de rapport B \ rightarrow A$ peut être représenté en combinant les schémas 4 et 1 au moyen d'OU opérateur. Le résultat est affiché sur le schéma 9, à savoir le schéma 9. diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; B implique A" ; ou " ; si B puis A" ; ou " ; A est vrai si B est true." ;

Alternativement, l'ensemble sur le schéma 9 peut être exprimé comme $\ overline {B - A}$ : le complément de la soustraction du A du B .

En conclusion, les paires de $de rapports A \ rightarrow B$ et de $B \ rightarrow A$ peuvent être combinées dans le $simple de rapport A \ leftrightarrow B$ (" ; Si et seulement si B" ;). Le diagramme correspondant de Johnston peut être constitué en combinant les schémas 8 et 9 au moyen d'ET opérateur, ayant pour résultat le schéma 10, à savoir le schéma 10. diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; A est vrai si et seulement si B est true" ; ou " ; A est équivalent à B" ;.

L'espace de possibilité de ce diagramme de Johnston est le $(\ barre {B} \ tasse A) = (A \ chapeau B) \ tasse (\ barre {} d'A \ chapeau \ barre {B}), le de$ ou, d'une manière equivalente, ensemble

$\ overline {A -} de B \ = de chapeau \ overline {B - A} \ overline {A \, \ delta \, B},$
i. le complément de la différence symétrique entre le A et le B .

Alors il y a deux cas relativement insignifiants : la tautologie et la contradiction . La tautologie est le rapport dont le diagramme de Johnston n'a aucune région noire de l'impossibilité : c'est tout le blanc, et sa région de la possibilité est équivalente à l'ensemble universel. Chaque axiome de la logique doit nécessairement être une tautologie. Une tautologie n'indique rien au sujet de l'état du monde réel, parce que les tautologies sont vraies dans tout le &mdash possible des mondes ; les solutions de rechange réelles et toutes ses. Elle n'indique rien au sujet de l'état de la question contingent dans le monde réel. Les tautologies sont évidentes en soi (des axiomes) ou peuvent être déduites (comme théorèmes d'autres tautologies. Ainsi, toutes les tautologies peuvent être le déduit a priori, mais l'état contingent du monde réel peut seulement être le obtenu a posteriori par l'observation.

Un exemple d'une tautologie peut être obtenu en combinant les schémas 1 et 2 au moyen d'OU opérateur (voir le schéma 11). diagramme de

de Johnston représentant le " de rapport ; Ou A est vrai ou A n'est pas true." ;

Ceci correspond à l'axiome du $A \ vé \ neg A$ (" ; A ou pas A" ;), qui s'appelle le datur (" de tertium de non ; un tiers n'est pas given" ;).

D'une part, la contradiction est le rapport dont le diagramme de Johnston est tout noir : sa région d'impossibilité est équivalente à l'ensemble universel, et sa région de possibilité est l'ensemble vide. Une contradiction indique trop. En fait, une contradiction est les la plupart une peut jamais dire : une contradiction ANDed à n'importe quel autre rapport produit une contradiction, mais il peut ne jamais être vrai, parce que le monde existe, et il a un état, qui est son état réel. Au moins un élément dans l'ensemble universel doit décrire le monde réel, ainsi la région de la possibilité ne peut pas être nulle.

Une contradiction peut être obtenue en combinant les schémas 1 et 2 au moyen d'ET opérateur (voir le schéma 12). le schéma 12 de

. Diagramme de Johnston représentant le " contradictoire de rapport ; A est vrai mais A n'est pas true." ;

Ceci correspond au $contradictoire de rapport A \ cale \ neg A$ (" ; A et pas A" ;), qui est la négation du $de tautologie A \ vé \ neg A$ . La négation de chaque tautologie est une contradiction. Ceci suggère une méthode d'absurdum d'annonce de Reductio appelé par preuve : pour prouver un théorème, assumer sa négation, puis prouver qu'elle mène de façon ou d'autre à la contradiction. Une fois que la contradiction a été atteinte, la preuve est de finition : assez dit.

En résumé, un diagramme de Johnston est une manière de représenter des rapports logiques (de calcul propositionnel) au moyen d'ensembles. Ainsi, les opérateurs logiques peuvent être transformés en opérations réglées, using la table suivante :

Voir également

Carte de Karnaugh de
arborescent

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