Diagramme de Hasse

Dans la discipline mathématique du connue sous le nom de théorie d'ordre de , un diagramme de Hasse de ( ˈhɑːsə Uh du HAHS), baptisé du nom de Helmut Hasse (1898&ndash ; 1979)) est une image simple d'un ensemble partiellement commandé fini , formant un schéma de la réduction transitive de l'ordre partiel. Concrètement, on représente chaque élément du S comme sommet à la page et trace une ligne le segment ou la courbe de qui vont le ascendant du X au y si < du X ; le y , et là n'est aucun z tels que < du X ; < du z ; y . Dans ce cas-ci, nous disons le X des couvertures du y , ou le y est un successeur immédiat du X . En outre on l'exige que les sommets sont placés de telle manière que chaque courbe rencontre exactement deux sommets : ses deux points finaux. Un tel diagramme (étant donné que les sommets sont marqués) détermine uniquement un ordre partiel, et n'importe quel ordre partiel a une réduction transitive unique, mais il y a beaucoup de placements possibles des éléments dans l'avion, ayant pour résultat différents diagrammes de Hasse pour un ordre donné qui peut avoir des aspects considérablement variables.

Parfois, le " d'expression ; Diagram" de Hasse ; est employé pour se rapporter à la réduction transitive pendant qu'un abstrait dirigeait le graphique acyclique , indépendamment de n'importe quel schéma de ce graphique, mais nous évitons cette utilisation ici.

Exemples

la puissance réglé de { X , y , z } du a partiellement commandé par l'inclusion , a le diagramme de Hasse :

le A d'ensemble = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} de tous les diviseurs de 60, partiellement commandés par la divisibilité , a le diagramme de Hasse :

l'ensemble de chacune des 15 cloisons de l'ensemble {1, 2, 3, 4}, partiellement commandées par le " ; refinement" ; , c. une cloison plus fine est " ; moins de than" ; une cloison plus brute, a le diagramme de Hasse :

Motivation

Si nous devions essayer de créer une certaine représentation visuelle d'un ensemble partiellement commandé ( S , ≤), comment procéderions-nous ? Nous pourrions commencer en créant d'abord un graphique , où chaque noeud sur le graphique est un élément dans S, et chaque bord ( u , v ) dans ce graphique représenterait le ≤ v.

Faire ceci, et l'essai de tracer le graphique, auraient comme conséquence un graphique qui serait très " ; busy" ;. En fait, nous diffusons beaucoup d'information superflue dans un tel graphique. Rappeler les conditions sur un ordre partiel :
un de ≤ de un (reflexivity)
si un du c de ≤ du b et du b de ≤ de puis un c (transitivité) de ≤ de
si un de ≤ du b et du b de ≤ de un de puis = b (antisymmetry)

Maintenant, dans notre graphique original, nous avons un certain nombre de bords - les boucles sur chaque noeud dans le graphique - sous la forme ( u , u ), parce que le reflexivity signifie ce u de ≤ du u . Ceci doit être vrai pour chaque élément dans le S (autrement ce ne serait pas un ordre partiel).

Dire que nous devions maintenant créer un diagramme, comme ci-dessus maintenant, sans boucles, de l'ensemble partiellement commandé ({1.4}, de ≤), où une cloison plus fine de de celle a placé est " ; moins de than" ; une cloison plus brute. Nous obtiendrions le graphique suivant :

Cependant, dans ce graphique, nous diffusons toujours l'information superflue. Renvoyant aux conditions d'un ordre partiel, nous voyons la condition de la transitivité. Dans le graphique ci-dessus, nous incluons les bords ( un , c ), ( un , b ), et (le b , le c ). Nous n'avons pas besoin de porter le bord supplémentaire ( un , c ) parce que les deux autres bords impliquent le tiers existe.

Ceci signifie que nous devons seulement inclure un bord entre un membre de l'ensemble, et son prédécesseur immédiat. Nous n'avons pas besoin des bords aux autres prédécesseurs parce que nous avons la transitivité , ni faisons nous devons dessiner des boucles à chaque bord parce que nous avons le reflexivity .

Si nous devions s'arrêter ici et tracer le diagramme encore selon ces nouvelles conditions, nous obtenons la troisième image ci-dessus, en section d'exemple. Nous pouvons nous arrêter ici, mais il peut être utile de définir le diagramme de Hasse en termes d'une autre relation qui exclut automatiquement ces cas.

Relation de couverture

voient également :

la relation de bâche de

Symboliquement, tous les bords dans le diagramme de Hasse devraient être de la forme ( X , y ) où < du X ; le y (des moyens plus stricts de cette relation nous excluons des caisses de boucles en tant qu'avant), et celui là existe aucun d'élément z dans l'ensemble tels que < du X ; < du z ; y (c'est une autre manière d'exclure les bords supplémentaires de schéma en raison de la transitivité).

Cette relation est connue comme relation de couverture de , et le diagramme de Hasse est souvent défini en termes de cette relation. Un y d'élément est dit au X de la couverture de si le y est un successeur immédiat du X . La commande partielle (stricte) est alors juste la fermeture transitive de cette relation de couverture.

Le diagramme de Hasse du S peut alors être défini abstrait comme ensemble de toutes les paires commandées ( X , y ) tels que le y couvre le X , c., le diagramme de Hasse peut être identifié avec l'inverse de la relation de couverture.

Conclusion d'un " ; good" ; Diagramme de Hasse

Bien que les diagrammes de Hasse soient simples aussi bien que les outils intuitifs pour traiter les posets finis , il s'avère être plutôt difficile de dessiner le " ; good" ; diagrammes. La raison est qu'il y a en général beaucoup (en fait : infiniment beaucoup) manières possibles de tracer un diagramme de Hasse pour un poset donné. Cependant, la technique simple de commencer juste par les éléments minimaux d'un ordre et d'ajouter alors de plus grands éléments produit incrémentalement souvent des résultats tout à fait pauvres : des symétries et la structure interne de l'ordre sont facilement perdues.

L'exemple suivant démontre le problème. Considérer le Powerset du S d'ensemble = { un , b , c , d }, c. l'ensemble de tous les sous-ensembles S , écrits comme $\ {P} (S)$ mathcal. Ce powerset peut facilement être commandé par l'intermédiaire du $d'inclusion de sous-ensemble \ subseteq$ . Au-dessous de lui y a trois principales manières différentes de tracer un diagramme de Hasse pour cet ordre :

Voir également

Trellis de (ordre)

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