Descente infinie

Dans les mathématiques , une preuve par la descente infinie est un genre particulier de preuve par l'induction mathématique . Une application typique est de prouver qu'une équation donnée n'a aucune solution. Assumer une solution existe, une prouve qu'un autre existe, qui est dans un certain sens « plus petit ». Alors on doit montrer, habituellement avec une plus grande facilité, que la descente infinie implicite en ayant un ordre entier des solutions qui sont jamais plus petites, par notre mesure choisie, est une impossibilité. C'est une contradiction , ainsi aucune une telle solution initiale ne peut exister.

Cette description d'illustration peut être redite en termes de contre-exemple minimal , donnant un type plus commun de formulation d'une preuve d'induction. Nous supposons une « plus petite » solution - dériver alors plus petit. C'est encore une contradiction.

La méthode peut être vue au travail dans une des preuves de l'irrationality de la racine carrée de de deux . Elle a été développée près et beaucoup employé pour les équations diophantines par le Fermat . Deux exemples typiques résolvent l'équation diophantine $x^4+y^4=z^2$ et prouvent un &equiv principal du p ; 1 (mod de 4) peut être exprimé comme somme de deux places parfaites dans certains cas, à un oeil moderne, ce qu'il employait était (en effet) la cartographie de doublement sur une courbe elliptique . Plus avec précision, sa méthode de de la descente infinie était une exploitation en particulier de la possibilité de diviser en deux les points raisonnables sur une courbe elliptique E par l'inversion des formules de doublement. Le contexte est d'un point raisonnable hypothétique sur E avec grand coordonne. Le doublement d'un point sur E double rudement la longueur des nombres exigés pour l'écrire (comme nombre de chiffres) : de sorte qu'un point « divisé en deux » soit tout à fait clair plus petit. De cette façon Fermat pouvait montrer la non-existence des solutions dans beaucoup de cas des équations diophantines d'intérêt classique (par exemple, le problème de quatre places parfaites dans progression arithmétique ).

Dans la théorie des nombres du 20ème siècle , la méthode infinie de descente a été prise encore, et poussé à un point où elle s'est reliée à la poussée principale de la théorie de nombre algébrique de et l'étude des L-fonctions le résultat structural du Mordell , que les points raisonnables sur une courbe elliptique E forment un Fini-a produit du groupe abélien , a employé un argument infini de descente basé sur E/2E dans le modèle de Fermat.

Pour prolonger ceci au cas d'une variété abélienne A de , le André Weil a dû faire plus explicite la manière de mesurer la taille d'une solution, au moyen d'une fonction - un concept de taille de qui est devenu fondamental. Pour prouver qu'A ( Q ) /2A ( Q ) est fini, qui est certainement une condition nécessaire pour la génération finie du groupe A ( Q ) de points raisonnables d'A, on doit faire des calculs dans ce qui plus tard a été identifié en tant que cohomology de Galois de . De cette façon, les groupes abstrait-définis de cohomology dans la théorie deviennent identifiés avec les descentes de dans la tradition de Fermat. Le théorème de Mordell-Weil de était au début de ce qui plus tard est devenu une théorie très étendue.

Exemples simples d'application

Irrationality de √2

Supposer que √2 (racine carrée de de deux ) étaient le raisonnable. Alors il a pu écrire As = du ${\ dfrac {p} {q}$

là où p et q sont des nombres entiers relativement principaux du ; en d'autres termes, la fraction est réduite aux plus basses limites. Puis,

$\ displaystyle {2q^2=p^2}$

SO2 | p. Laisser p=2P, et $\ displaystyle {q^2=2P^2}$

SO2|q. Mais d'autre part 2 est un facteur de p et de q, contredisant le fait que p et q sont relativement principaux. Puisque √2 est un vrai nombre , qui peut être raisonnable ou irrationnel, la seule option laissée est pour que √2 soit irrationnel.

Une équation diophantine

Supposer qu'il y a des solutions de nombre entier de

$a^2+b^2=3 \ cdot (s^2+t^2), \,$

alors il y aura certainement une solution minimale parmi eux.

Supposer que $a_1, b_1, s_1, t_1$ est la solution minimale de nombre entier, nous avons $de a_1^2+b_1^2 = 3 \ cdot (s_1^2+t_1^2)$

et c'est seulement vrai si $a_1$ et $b_1$ sont divisibles par l'ensemble 3.

$3 de a_2 = a_1 \,$ et $3 b_2 = b_1. \,$

Ainsi nous avons $de (3 a_2) ^2 + (3 b_2) ^2 = 3 \ cdot (s_1^2+t_1^2)$

et $3 de (a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2. \,$

ce qui est un plus petit &mdash de solution ; on a assumé qu'une contradiction, comme solution est minimale ! Ceci prouve qu'il n'y a aucune solution différente de zéro pour cette équation diophantine .

Voir également

Preuve de par la contradiction

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