Del

style=" de

&nabla ;

Del operator,
by
représenté le symbole de Nabla de .

Dans le calcul de vecteur de , del est un opérateur différentiel du vecteur représenté par le symbole de Nabla de :

\ nabla

Del est une portion mathématique d'outil principalement comme convention pour la notation mathématique ; il facilite beaucoup d'équations pour comprendre, écrire, et se rappeler. Selon la manière que le del est appliqué, il peut décrire le gradient (pente) de , la divergence (le degré de avec laquelle quelque chose converge ou diverge) ou courbure (mouvement de de rotation aux points dans un fluide). Des descriptions plus intuitives de chacune des nombreuses opérations que le del effectue peuvent être trouvées ci-dessous.

Mathématiquement, le del peut être regardé comme dérivé dans l'espace multidimensionnel. Une fois utilisé dans une dimension, il prend la forme du dérivé standard du calcul . Comme un opérateur , il agit sur les champs de vecteur et les champs scalaires avec des analogues de multiplication traditionnelle. Comme avec tous les opérateurs, ces analogues ne devraient pas être confondus avec la multiplication traditionnelle ; en particulier, le del ne permute pas .

Définition

Dans le cartésien R ³ avec des coordonnées ( X , y , z ), del du système du même rang tridimensionnel est défini en tant que = de

\ nabla de \ mathbf {I} {\ partiel \ au-dessus de \ x partiel} + \ + du mathbf {j} {\ partiel \ au-dessus de \ y partiel} \ mathbf {k} {\ partiel \ au-dessus de \ z partiel}

là où ( i , j , k ) est la base standard dans le R ³.

Bien que cette page traite principalement le del dans trois dimensions, cette définition peut être généralisée au n - le dimensionnel R ⁿ de l'espace euclidien . Dans le système du même rang cartésien avec des coordonnées ( X ₁, X ₂,…, n de _{de X ), le del est : $de \ nabla = \ ^n du sum_ {i=1} \ e_i de vec {\ partiel \ au-dessus de \ x_i partiel}$}

là où $\ {\ e_i de vec : 1 \ leq i \ leq n \}$ est la base standard dans cet espace.

Plus de manière compacte, using la notation d'addition d'Einstein de , le del est écrit en tant que le $\ nabla de = \ e_i \ partial_i de vec.$

Del peut également être exprimé en d'autres systèmes du même rang, voit par exemple le Del dans les coordonnées cylindrique et sphériques .

Utilisations d'écriture de del

Del est employé comme forme de sténographie pour simplifier beaucoup de longues expressions mathématiques. Il est le plus utilisé généralement pour simplifier des expressions pour le gradient , la divergence , la courbure , le dérivé directionnel , et le Laplacian .

Gradient

Le dérivé de vecteur d'un f du champ scalaire s'appelle le gradient , et il peut être représenté comme :

\ mbox {diplômé} \, f = {\ f partiel \ au-dessus de \ x partiel} \ mathbf {I} + {\ f partiel \ au-dessus de \} partiel de y \ mathbf {j} + {\ f partiel \ au-dessus de \ z partiel} \ = du mathbf {k} \ nabla f

Il se dirige toujours dans la direction de la plus grande augmentation du f , et il a une grandeur égale au taux d'accroissement maximum au &mdash de point ; juste comme un dérivé standard. En particulier, si une colline est définie comme fonction de taille au-dessus d'un plat h (x, y) , la 2d projection du gradient à un endroit donné sera un vecteur dans le de x/y-avion (sorte de comme une flèche sur une carte) se dirigeant le long de la direction la plus raide. L'importance du gradient est la valeur de cette pente la plus raide.

En particulier, cette notation est puissante parce que la règle de produit de gradient regarde très semblable au cas 1d-derivative : $de \ nabla (f g) = f \ nabla g + g \ nabla f$

Les règles pour des produits ne s'avèrent pas toujours cela simple, comme illustré par :

$\ nabla (\ vec u \ cdot \ vec v) = (\ vec u \) de cdot \ nabla \ vec v + (\ vec v \ cdot \ nabla) \ + de vec u \ vec u \ périodes (\ nabla \ périodes \ + de vec v) \ vec v \ périodes (\ nabla \ périodes \ vec u)$

Divergence

La divergence d'un v de de champ de vecteur (x, y, z) = i de v_x le j de + de v_y le k de + de v_z peut être représenté comme :

\ mbox {} de division \, \ vec v = {\ v_x partiel \ au-dessus de \ x partiel} + {\ v_y partiel \ au-dessus de \ y partiel} + {\ v_z partiel \ au-dessus de \ z partiel} = \ nabla \ cdot \ vec v

La divergence est rudement une mesure d'une augmentation de champ de vecteur de la direction qu'elle se dirige ; mais plus exactement une mesure de la tendance de ce champ de converger dessus ou repousser d'un point.

La puissance de la notation de del est montrée par la règle suivante de produit : $\ nabla \ cdot de (f \ vec v) = + de f \ nabla \ cdot \ vec v \ vec v \ cdot \ nabla f$

La formule pour le produit de vecteur est légèrement moins intuitive, parce que ce produit n'est pas commutatif : $\ nabla \ cdot de (\ vec u \ périodes \ = de vec v) \ vec v \ cdot \ nabla \ périodes \ - de vec u \ vec u \ cdot \ nabla \ périodes \ vec v$

Courbure

La courbure d'un v de de champ de vecteur (x, y, z) = i de v_x le j de + de v_y le k de + de v_z peut être représenté comme :

\ mbox {} de courbure \ ; \ = de vec v \ laissé ({\ v_z partiel \ au-dessus de \ y partiel} - {\ v_y partiel \ au-dessus de \ z partiel} \ droit) \ + du mathbf {I} \ laissé ({\ v_x partiel \ au-dessus de \ z partiel} - {\ v_z partiel \ au-dessus de \ x partiel} \ droit) \ + du mathbf {j} \ laissé ({\ v_y partiel \ au-dessus de \ x partiel} - {\ v_x partiel \ au-dessus de \ y partiel} \ droit) \ = du mathbf {k} \ nabla \ périodes \ vec v

La courbure à un point est proportionnelle au couple de sur-axe qu'un pinwheel minuscule jugerait s'il étaient centrés à ce point.

L'opération de produit de vecteur peut être visualisée en tant que pseudo-déterminant : le $\ nabla \ temps de \ vec v = \ sont partis|\ commencer {matrice} \ et du mathbf {I} \ mathbf {j} et \ \ du mathbf {k} \ \ \ {\ frac {\ partiel} {\ x partiel}} et {\ frac {\ partiel} {\ y partiel}} et {\ frac {\ partiel} {\ z partiel}} \ \ \ \ v_x et v_y et v_z \ extrémité {matrice} \ droit|.$

Encore la puissance de la notation est montrée par la règle de produit : $\ nabla \ temps de (f \ vec v) = (\ nabla f) \ périodes \ vec v + f \ nabla \ périodes \ vec v$

Malheureusement la règle pour le produit de vecteur ne s'avère pas simple :

$\ nabla \ période (\ vec u \ période \ vec v) = \ vec u \, \ nabla \ cdot \ vec v - \ vec v \, \ nabla \ cdot \ vec u + (\ vec v \) de cdot \ nabla \ vec u - (\ vec u \) de cdot \ nabla \ vec v$

Dérivé directionnel

Le dérivé directionnel d'un f (x, y de champ scalaire, z) dans le de de direction un (x, y, z) = i d'a_x le j de + d'a_y le k de + d'a_z est défini comme :

\ vec {a} \ cdot \ mbox {} de diplômé \, f = a_x {\ f partiel \ au-dessus de \ x partiel} + f a_y {\ partiel \ au-dessus de \ y partiel} + a_z {\ f partiel \ au-dessus de \ z partiel} = (\ vec a \ cdot \ nabla) f

Ceci donne au changement d'un f de champ de la direction du un . Dans la notation d'opérateur, l'élément entre parenthèses peut être considéré une unité logique simple ; La dynamique des fluides emploie cette convention intensivement, la nommant le &mdash convecteur du dérivé ; le dérivé « en mouvement » du fluide.

Laplacian

L'opérateur de Laplace de est un opérateur scalaire qui peut être appliqué au vecteur ou aux champs scalaires ; il est défini comme :

\ delta de = {\ partial^2 \ au-dessus de \ x^2 partiel} + {\ partial^2 \ au-dessus de \ y^2 partiel} + {\ partial^2 \ au-dessus de \ z^2 partiel} = \ = de nabla \ cdot \ nabla \ nabla^2

Le Laplacian est omniprésent dans toute la physique mathématique moderne, apparaissant dans l'équation de Poisson De , l'équation de la chaleur de , l'équation d'ondes , et le &mdash de l'équation de Schrödinger de ; pour appeler uns.

Dérivé de tenseur

Del peut également être appliqué à un champ de vecteur avec le résultat étant un tenseur . Le dérivé de tenseur de d'un

de champ de vecteur \ de vec {v}

est des 9 que la limite deuxième-rangent le tenseur, mais peut être dénoté simplement comme

\ nabla \ otimes \ vec {v}

, où le

\ otimes

représente le produit dyadique .

Pour un petits $\ delta \ vec de déplacement {r}$ , le changement du champ de vecteur est donné par :

$\ delta \ vec {v} = (\ nabla \ otimes \) de vec {v} \ sdot \ delta \ vec {r}$

Deuxièmes dérivés

Quand le del opère une grandeur scalaire ou un vecteur, généralement une grandeur scalaire ou un vecteur est retournée. En raison de la diversité des produits de vecteur, une application de del provoque déjà trois dérivés importants - la divergence, le gradient, et la courbure. L'application de ces trois sortes de dérivés donne encore entre eux les cinq deuxièmes dérivés possibles, pour un f de champ scalaire ou un v de de champ de vecteur ; l'utilisation du Laplacian donne deux davantage :

\ mbox {division} \, (\ mbox {diplômé} \, f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f)

\ mbox {courbure} \, (\ mbox {diplômé} \, f) = \ nabla \ période (\ nabla f)

\ delta f = \ nabla^2 f

\ mbox {diplômé} \, (\ mbox {division} \, \ vec v) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec v)

\ mbox {division} \, (\ mbox {} de courbure \, \ = de vec v) \ nabla \ cdot (\ nabla \ période \ vec v)

\ = de delta \ vec v \ nabla^2 \ vec v

Ceux-ci sont d'intérêt principalement parce qu'elles ne sont pas toujours uniques ou indépendant de l'un l'autre. Tant que les fonctions sont le poli, deux d'entre elles sont toujours zéro :

$\ mbox {courbure} \, (\ mbox {diplômé} \, f) = \ nabla \ période (\ nabla f) = 0$
$\ mbox {division} \, (\ mbox {} de courbure \, \ = de vec v) \ nabla \ cdot \ nabla \ périodes \ vec {v} = 0.$

Deux d'entre eux sont toujours égaux :

$\ mbox {division} \, (\ mbox {} de diplômé \, f) = \ nabla \ cdot (\ = = \ nabla^2 f \ delta f$ de nabla f)

Les 3 dérivés restants de vecteur sont rapportés par l'équation : $\ nabla \ temps de \ nabla \ périodes \ vec {v} = \ - de nabla (\ nabla \ cdot \ vec {v}) \ nabla^2 \ vec {v}$

Et l'un d'entre eux peut même être exprimé avec le produit de tenseur, si les fonctions sont polies : = de $\ nabla de (\ nabla \ cdot \ vec {v}) \ nabla \ cdot (\ nabla \ otimes \ vec {v})$

Précautions

La plupart des propriétés ci-dessus de vecteur (excepté ceux qui se fondent explicitement sur le &mdash différentiel des propriétés des del ; par exemple, la règle de produit) compter seulement sur la remise en ordre de symbole, et doit nécessairement tenir si le del est remplacé par n'importe quel autre vecteur. Ce fait partie de la valeur énorme gagnée en représentant cet opérateur comme vecteur à son propre chef.

Bien que vous puissiez souvent remplacer le del par un vecteur et obtenir une identité de vecteur, rendant ces identités intuitives, l'inverse est le pas nécessairement fiable, parce que le del ne permute pas souvent.

Un contre-exemple qui se fonde sur le manque des del de permuter : $de \ vec u \ = de cdot \ vec v \ vec v \ cdot \ cdot \ vec v \ Ne \ vec v \ cdot \ nabla$
du vec u $\ nabla \ Un contre-exemple qui se fonde sur les propriétés différentielles des del : de (\ nabla x) \ périodes (\ nabla y) = \ de mathbf {k} (\ vec u x) \ périodes (\ = de vec u y) \ mathbf {0}$

Le central à ces distinctions est le fait que le del n'est pas un vecteur - c'est un opérateur vecteur. Considérant qu'un vecteur est un objet avec une grandeur numérique précise et la direction, le del n'a pas une valeur précise pour l'un ou l'autre jusqu'à ce qu'on lui permette d'opérer quelque chose.

Pour cette raison, des identités impliquant le del doivent être dérivées à partir de zéro, non dérivé des identités préexistantes de vecteur.

Voir également

Tableau de des symboles mathématiques
Le Navier-Charge les équations
Les équations de Maxwell de
Del dans les coordonnées cylindrique et sphériques

Random links: