Déconvolution

Dans les mathématiques , la déconvolution est un algorithme-basé traitent utilisé pour renverser les effets de la convolution sur des données enregistrées. Le concept de la déconvolution est employé couramment dans les techniques du traitement des signaux et à traitement d'images. Puisque ces techniques sont à leur tour employées couramment dans les beaucoup le des disciplines scientifiques de la technologie de et de , la déconvolution trouve beaucoup d'applications.

Généralement l'objet de la déconvolution est de trouver la solution d'une équation de convolution de la forme : $f de * g = h$

Habituellement, $h$ est un certain signal enregistré, et $f$ est un certain signal que nous souhaitons récupérer, mais convolved avec un autre signal $g$ avant que nous l'ayons enregistré. La fonction $g$ pourrait représenter la fonction de transfert d'un instrument ou d'une force d'entraînement qui a été appliquée à un système physique. Si nous savons $g$ , ou connaissons au moins la forme de $g$ , alors nous pouvons effectuer la déconvolution déterministe. Cependant, si nous ne savons pas $g$ à l'avance, puis nous devoir l'estimer. Ceci le plus souvent est fait suivre des méthodes de l'évaluation statistique du .

Dans des mesures physiques, la situation est habituellement plus près de $de (f * g) + \ epsilon = h$

Dans ce cas-ci le $\ epsilon$ est le bruit qui a écrit notre signal enregistré. Si nous supposons qu'un signal ou une image bruyant est silencieuse quand nous essayons de faire une évaluation statistique de $g$ , notre évaluation sera incorrecte. Alternativement, notre évaluation de $f$ sera également incorrecte. Plus le rapport signal/bruit est inférieur, le plus pauvre notre évaluation du signal deconvolved sera. C'est la raison pour laquelle habituellement le de filtrage inverse le signal n'est pas une bonne solution. Cependant, si nous avons au moins de la connaissance du type de bruit dans les données (par exemple, bruit blanc ), nous pouvons pouvoir améliorer l'évaluation de $f$ par des techniques telles que la déconvolution de saucisse de .

Les fondements pour l'analyse de déconvolution et de série chronologique ont été en grande partie jetés par la saucisse de Norbert de du massachusetts.technology dans son extrapolation, interpolation, et lissage de de livre de la série chronologique stationnaire (1949). Le livre a été basé sur la saucisse de travail avait fait pendant la deuxième guerre mondiale mais cela avait été classifié alors. Certaines des tentatives tôt d'appliquer ces théories étaient dans les domaines de la prévision météorologique et des sciences économiques .

Applications de la déconvolution

Séismologie

Le concept de la déconvolution a eu une application tôt en séismologie de réflexion de . En 1950, le Enders Robinson était un étudiant de troisième cycle au MIT . Il a travaillé avec d'autres au MIT, tel que la saucisse , le Levinson normand , et le Paul Samuelson d'économiste, pour développer le " ; model" circonvolutionnaire ; d'un séismogramme de réflexion. Ce modèle suppose que les $s enregistrés du séismogramme (t)$ est la convolution d'un $e de fonction de Terre-réflectivité (t)$ et un $w séismique d'ondelette (t)$ d'une source ponctuelle , où $t$ représente le temps d'enregistrement. Ainsi, notre équation de convolution est $s de (t) = e (t) * W (t)$ .

Le sismologiste est intéressé par $e$ , qui contient des informations sur la structure de la terre. Par le théorème de convolution de , cette équation peut être Fourier transformé à $S de (\ Omega) = E (\ Omega) W (\ Omega)$

dans le domaine de fréquence . En supposant que la réflectivité est blanche, nous pouvons supposer que le spectre de puissance de la réflectivité est constant, et que le spectre de puissance du séismogramme est le spectre de l'ondelette multipliée par cela constante. Ainsi,

$|S (\ Omega)| \ approximativement k|W (\ Omega)|$ .

Si nous supposons que l'ondelette est la phase minimum , nous pouvons la récupérer en calculant l'équivalent minimum de phase du spectre de puissance que nous avons juste trouvé. La réflectivité peut être récupérée en concevant et en appliquant un filtre de saucisse qui forme l'ondelette prévue à une fonction de Dirac de Dirac (c. Le résultat peut être vu comme série de fonctions delta mesurées et décalées (bien que ce n'est pas mathématiquement rigoureux) : $e de (r_i de ^N de t)= \ sum_ {i=1} \ delta (t \ tau_i)$ ,

là où $N$ est le nombre d'événements de réflexion, le $\ tau_i$ sont les temps de réflexion de chaque événement, et $r_i$ sont les coefficients de réflexion

Dans la pratique, puisque nous traitons la largeur de bande bruyante et finie , longueur finie, ensembles de données discret prélevés, les rendements ci-dessus de procédé seulement une approximation du filtre requis au deconvolve les données. Cependant, en formulant le problème comme solution d'une matrice de Toeplitz de et en employant la récursion de Levinson de , nous pouvons relativement rapidement estimer un filtre avec l'erreur de la moyenne carrée du plus petit possible. Nous pouvons également faire la déconvolution directement dans le domaine de fréquence et obtenir des résultats similaires. La technique est étroitement liée à la prévision linéaire .

Systeme optique et toute autre formation image

Dans le systeme optique et la formation image, le " de limite ; deconvolution" ; est spécifiquement employé pour se rapporter au processus de renverser la déformation optique qui a lieu dans un microscope optique , le microscope électronique , le télescope , ou tout autre instrument de formation image, de ce fait créant des images plus claires. Elle est habituellement faite dans le domaine numérique par un algorithme du logiciel , en tant qu'élément d'une suite des techniques à traitement d'images du microscope . La déconvolution est également pratique pour affiler les images qui souffrent du mouvement rapide ou secoue pendant le serrage. Des images tôt du télescope spatial de Hubble de ont été tordues par un miroir fêlé par et ont pu être affilées par la déconvolution.

La méthode habituelle est de supposer que le chemin optique à travers l'instrument est optiquement parfait, convolved avec une fonction de diffusion de point (PSF), c., une fonction mathématique qui décrit la déformation en termes de voie qu'une source ponctuelle théorique de vagues) légères (ou autres prend par l'instrument. Habituellement, une telle source ponctuelle contribue un petit secteur du manque de netteté à l'image finale. Si cette fonction peut être déterminée, c'est alors une question de calculer son inverse ou fonction complémentaire, et de convolving l'image acquise avec cela. Le résultat est l'image originale et sans distorsion.

Dans la pratique, la conclusion du PSF vrai est impossible, et une approximation de elle est employée, théoriquement calculée ou habituellement basée sur une certaine évaluation expérimentale en employant les sondes connues. Le vrai systeme optique peut également avoir PSFs différent à différents endroits focaux et spatiaux, et le PSF peut être non linéaire. L'exactitude de l'approximation du PSF dictera le résultat final. Différents algorithmes peuvent être utilisés pour donner de meilleurs résultats, au prix d'être plus comportant de nombreux calculs. Puisque la convolution originale jette des données, quelques algorithmes emploient des données additionnelles acquises aux points focaux voisins pour composer une partie d'information perdue. Régularisation dans des algorithmes itératifs (comme dans des algorithmes d'Espérance-maximisation peut être appliqué pour éviter les solutions peu réalistes.

Quand le PSF est inconnu, il peut être possible de le déduire en essayant systématiquement PSFs possible différent et l'évaluation si l'image s'est améliorée. Ce procédé s'appelle la déconvolution sans visibilité de .

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