Croix-rapport

Dans les mathématiques , le croix-rapport d'un ensemble de quatre points distincts sur le plan complexe est donné près $de$

(z_1, z_2 ; z_3, z_4) = \ frac {(z_1-z_3) (z_2-z_4)}{(z_1-z_4) (z_2-z_3)}.

Cette définition peut être prolongée à la sphère de Riemann entière (c. le plan complexe plus le point de à infini ) par la continuité .

Le croix-rapport de quatre nombres complexes est le vrai si et seulement si les quatre nombres sont le situé sur la même droite ou le Concyclic .

Plus généralement, si le A est un anneau associatif , puis croix-rapports de " ; points" suffisamment séparé ; peut être construit sur la ligne projective au-dessus du A par l'intermédiaire de la géométrie inversive d'anneau de .

La géométrie projective

les Croix-rapports sont des invariants de la géométrie projective dans le sens qu'ils sont préservés par les transformations projectives qu'ils ont surgi historiquement dans la vraie géométrie projective du .

Le croix-rapport a été présenté par le Arthur Cayley : donné un conique C dans l'avion projectif de vrai , son agit transitif sur l'intérieur du conique (respectivement, actes transitif sur l'extérieur). Ce groupe n'agit pas doublement transitif sur l'intérieur : l'invariable est le rapport en travers. Explicitement, prendre le conique pour être le cercle d'unité, et donné deux points dans le disque d'unité, le p , le q , tracent la ligne les reliant, qui intersecte le cercle dans deux points, un et b , ainsi les points sont, en règle, le $a,\; p,\; q,\; b$. Alors le rapport en travers est défini près

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash$

de notation \ frac Symétrie

Il y a différentes définitions du croix-rapport utilisé dans la littérature. Cependant, elles toutes diffèrent entre eux par une certaine permutation possible des coordonnées. Généralement il y a six différentes valeurs possibles que le croix-rapport peut prendre selon l'ordre dans lequel le i de _{du z de points} sont donnés. Puisqu'il y a 24 permutations possibles des quatre coordonnées, quelques permutations doivent laisser le croix-rapport inchangé. En fait, l'échange de deux paires quelconques de coordonnées préserve le croix-rapport : $de$

(z_1, z_2 ; z_3, z_4) = (z_2, z_1 ; z_4, z_3) = (z_3, z_4 ; z_1, z_2) = (z_4, z_3 ; z_2, z_1). \,

Using ces symétries, il peut alors y avoir 6 valeurs possibles du croix-rapport, selon l'ordre dans lequel les points sont indiqués. Ceux-ci sont :

Approche transformationnelle

des Croix-rapports sont préservés par des transformations projectives de la sphère de Riemann, également connues sous le nom de transformations A de Möbius de la transformation que générique de Möbius est donnée près

$f\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{az+b\}\; \{\}\; de\; cz+d\; \backslash \; ;\; ,\; \backslash \; annonce-avant\; Jésus\; Christ\; dequadruple\backslash \; Ne\; 0$

Pour dire que ceci préserve le croix-rapport signifie cela $de$

(f (z_1), f (z_2) ; f (z_3), f (z_4)) = (z_1, z_2 ; z_3, z_4). \,

Le de action sur la sphère de Riemann , le groupe de transformations de Möbius a la propriété qu'il y a une transformation unique de Möbius prenant réglé de trois points sur n'importe quel autre ensemble de trois points (c. l'action est brusquement 3 transitifs). Par conséquent, donné quatre points sur la sphère de Riemann, nous pouvons trouver une transformation unique qui prend trois de ces points aux points 0, 1, et le &infin ;. La destination des quatrièmes points s'avère être liée au croix-rapport des points originaux.

Pour voir ceci, noter ce $de\; (z,\; 1\; ;\; 0,\; \backslash \; infty)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{W\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{z\; (1-w)\}\{le\; ZW\}\; =\; Z.\; \backslash ,$ Par conséquent donné quatre points du $(z\_1,\; z\_2\; ;\; z\_3,\; z\_4)$ nous peut trouver unique transformation f qui envoie le
$z\_2\; de$
\ à 1, \ ; z_3 \ à 0, \ ; z_4 \ à \ infty Le point $z\_1$ obtiendra alors envoyé au $de\; croix-rapport\; (z\_1,\; z\_2\; ;\; z\_3,\; z\_4)\; =\; f\; (z\_1).$ a regardé dedans une lumière différente, le croix-rapport, pensée de en fonction de $z\_1$, est la transformation unique de Möbius prenant le $de\; points\; (z\_2,\; z\_3,\; z\_4)$ au $(1.$

Points de vue avancés

La théorie prend un aspect de calcul différentiel pendant que les quatre points sont introduits dans la proximité. Ceci mène à la théorie du dérivé de Schwarzian de , et plus généralement des raccordements projectifs ces idées sont appliquées à la théorie des champs isogone .

Random links:

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