Covariance

Dans la théorie des probabilités et les statistiques , la covariance est la mesure de combien deux variables aléatoires varient ensemble (à la différence de désaccord , qui mesure combien une variable simple varie).

Si deux variables tendent à varier ensemble (c'est-à-dire, quand l'une d'entre elles est au-dessus de sa valeur prévue, alors de l'autre variable tend à être au-dessus de sa valeur prévue de trop), alors la covariance entre les deux variables sera positive.
D'une part, si l'une d'entre elles est au-dessus de sa valeur prévue et l'autre variable tend à être au-dessous de sa valeur prévue, puis la covariance entre les deux variables être négatif.

La covariance entre deux le vrai - évalué X des variables aléatoires et Y , avec le $des valeurs prévues \ scriptstyle E (X) \, = \, \ mu$ et $\ scriptstyle E (Y) \, = \, \ nu$ est défini As

$\ operatorname {Cov} (X, Y) = \ operatorname {E} ((X - \ MU) (- de Y \ NU)), \,$

là où E est l'opérateur de la valeur prévue . Ceci peut également être écrit : $de \ operatorname {Cov} (X, Y) = \ operatorname {E} (- de X \ cdot Y) \ MU \ NU. \,$

Si le X et le Y sont le indépendant, alors leur covariance est zéro. Ceci suit parce que sous l'indépendance, $E de (X \ cdot Y)=E (X) \ cdot E (Y)= \ MU \ nu.$

Rappelant la deuxième forme de la covariance donnée ci-dessus, et substituant, nous obtenons $de \ operatorname {Cov} (X, Y) = \ - de MU \ du NU \ MU \ NU = 0.$

L'inverse, cependant, n'est pas vraie : si le X et le Y ont la covariance zéro, ils n'ont pas besoin d'être indépendants.

Les unités de de la mesure de la covariance Cov ( X , Y ) sont ceux des temps du X ceux du Y . En revanche, la corrélation , qui dépend de la covariance, est une mesure sans dimensions du de la dépendance linéaire.

Des variables aléatoires dont la covariance est zéro s'appellent le non-corrélatif.

Propriétés

Si le X , le Y sont les variables aléatoires et le à valeurs réelles un , le b , le c , le d sont constante (" ; constant" ; dans ce contexte signifie non-random), puis les faits suivants sont une conséquence de la définition de la covariance : $\ operatorname {Cov} (aX+bY, cW+dV) = C. \ \ operatorname {Cov}(X, W)+ad \, \ operatorname {Cov} (X, V)+bc \, \ operatorname {Cov} (Y, W)+bd \, \ operatorname {Cov} (Y, V) \,$

Pour le X ₁,…, n de _{du X et Y ₁ d'ordres,…, le m} de _{du Y des variables aléatoires, nous prenons}

$\ operatorname {} de Cov \ laissé (\ ^n de sum_ {i=1} {X_i}, \ ^m de sum_ {j=1} {Y_j} \ droit) = \ ^n du sum_ {i=1} {\ ^m de sum_ {j=1} {\ operatorname {Cov} \ est parti (X_i, Y_j \ droits)}}. \,$

Pour un X ₁ d'ordre,…, le n de _{du X des variables aléatoires, nous prenons}

$\ operatorname {} de variété \ laissé (\ ^n X_i de sum_ {i=1} \ droit) = \ ^n du sum_ {i=1} \ operatorname {variété} (X_i) + 2 \ sum_ {I, j \ : \,} d'i$

Rapport avec les produits intérieurs

Plusieurs des propriétés de la covariance peuvent être extraites d'une manière élégante en observant qu'il satisfait les propriétés semblables à ceux d'un produit intérieur : bilinéaire du de
(1) : pour le de constantes un et le b et le X de variables aléatoires, le Y , et le U , Cov (hache de + par , U ) = un Cov ( X , U ) +
du b Cov ( Y , U ) (2) symétrique : Cov ( X , Y ) = défini positif du
de Cov ( Y , X ) (3) : La variété ( X ) = le ≥ 0 de Cov ( X , X ), et le Cov ( X , X ) = 0 implique que le X est une variable aléatoire constante ( K ).

Il peut montrer que la covariance est un produit intérieur au-dessus d'un certain sous-espace de l'espace de vecteur des variables aléatoires avec le deuxième moment fini.

Matrices et opérateurs de covariance

Pour le vecteur de de colonne a évalué le X de variables aléatoires et le Y avec le &mu respectif de valeurs prévues ; et &nu ; , et le scalaire m de composants du respectif et le n , la covariance est défini pour être les × du m ; la matrice du n a appelé la matrice de covariance : $de \ operatorname {Cov} (X, Y) = \ operatorname {E} ((x \ MU) (y \ NU) ^ \ dessus). \,$

Pour des variables aléatoires vecteur-évaluées, Cov ( X , ; Y ) et Cov ( Y , ; Le X ) sont de chacun transpose

Plus généralement, pour un de la mesure de probabilité P sur un de l'espace de Hilbert H avec, de $\ langle \ cdot du produit intérieur \ cdot \ rangle$ , l'opérateur de covariance de du P est l'opérateur Cov : ; du H ; × ; ; du H ; &rarr ; ; H donné près

$\ mathrm {Cov} (x, y) = \ int_ {H} \ langle X, z \ rangle \ langle y, z \ rangle \, \ mathrm {} de d \ mathbf {P} (z)$

pour tout le X et y dans le H . Cov est un opérateur (l'analogie infini-dimensionnelle d'Individu-adjoint de de la symétrie de transposition dans le cas fini-dimensionnel) ; quand le P est une mesure gaussienne centrée , Cov est également un opérateur nucléaire .

La covariance s'appelle parfois une mesure de " ; dependence" linéaire ; entre les deux variables aléatoires. Cela ne signifie pas la même chose que dans le cadre de l'algèbre linéaire (voir la dépendance linéaire ). Quand la covariance est normale, on obtient la matrice de corrélation . À partir de lui, on peut obtenir le coefficient de Pearson de , qui nous donne la qualité de l'ajustement pour la meilleure fonction linéaire décrivant la relation entre les variables. Dans ce sens la covariance est une mesure linéaire de la dépendance.

Voir également

Matrice de covariance
Autocovariance

Random links: