Courbure principale

Dans la géométrie différentielle , les deux principales courbures à un point donné d'une surface différentiable du dans l'espace euclidien sont le minimum et le maximum des courbures à ce point de toutes les courbes sur la surface passant par le point.

Ici la courbure d'une courbe est prise pour être le réciproque du rayon du cercle d'Osculating . La courbure est prise pour être si la courbe tourne dans la même direction que la normale choisie de la surface, autrement négatif positif. Les directions de la courbure minimum et maximum sont toujours perpendiculaires, un résultat de Euler (1760), et s'appellent les principales directions .

Le produit des deux principales courbures $k_1 k_2$ est la courbure gaussienne , $K$ de et le $moyen (k_1+k_2) /2$ est la courbure moyenne , $H$ de .

Pour une surface développable , au moins une des principales courbures est zéro à chaque point. Pour une surface minimale , la courbure moyenne est zéro à chaque point.

Classification des points sur une surface

aux points elliptiques du , les deux principales courbures ont le même signe, et la surface est localement corps convexe.
Aux points Umbilic du , les deux principales courbures sont égale et chaque vecteur de tangente peut être considéré une direction principale.
Aux points hyperboliques du , les principales courbures ont vis-à-vis des signes, et la surface sera localement sellent shaped.
Aux points paraboliques du , une des principales courbures est zéro. Les points paraboliques se situent généralement dans une courbe séparant des régions elliptiques et hyperboliques.

Lignes de la courbure

Les lignes de de la courbure sont des courbes qui sont toujours tangente à une direction principale (elles sont les courbes d'intégrale de pour la ligne champs de courbure principale). Il y aura deux lignes de courbure par chaque point non-umbilic et les lignes croiseront perpendiculairement.

À l'umbilics les lignes la forme une du de trois configurations tiennent le premier rôle , citron de et lemonstar (ou monstar). Ces points s'appellent également Darbouxian Umbilics, dans l'honneur à Gaston Darboux , le premier pour effectuer une étude systématique dans vol. 4, note 7, de son Leçons célèbre (1896).

Voir également

courbure

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