Courbure moyenne

Dans les mathématiques , la courbure moyenne $H$ de d'un $S$ de la surface est une mesure extrinsèque du de courbure qui vient de la géométrie différentielle et qui décrit localement la courbure d'une surface de incluse par dans certain espace ambiant tel que l'espace euclidien .

Le concept a été présenté par le Sophie Germain dans son travail sur la théorie d'élasticité de .

Définition

Laisser $p$ être un point sur la surface $S$ . Considérer tout le $C_i$ des courbes sur $S$ passant par le point $p$ sur la surface. Chaque un tel $C_i$ a une courbure associée $K_i$ de donnée à $p$ . De ces courbures $K_i$ , au moins un est caractérisé comme $maximal du \ kappa_1$ et un comme $minimal du \ kappa_2$ , et ces deux, le $\ kappa_1 \ kappa_2$ de courbures sont connus comme courbures principales 'de $S$ .

La courbure moyenne au $p \ dans S$ est la moyenne des courbures, par conséquent du nom : $H de = {1 \ plus de 2} (\ kappa_1 + \ kappa_2).$

Plus généralement, parce que hypersurface $T$ courbure moyen est donné en tant que

$H= \ frac {1} {n} \ sum_ {i=1} ^ {} de n \ kappa_ {I}.$

Plus abstrait, la courbure moyenne est (des temps de $\ frac {1} {n}$ ) la trace de la forme en second lieu fondamentale (ou d'une manière equivalente, l'opérateur de forme ) de .

En plus, courbure moyen $H$ peut être écrit en termes de covariant dérivé $\ nabla$ en tant que

$H \ vec {n} = g^ {} d'ij \ nabla_i \ nabla_j X,$ using les relations de Gauss-Weingarten de , où $X (x, t)$ est une famille des hypersurfaces, du $\ du vec sans à-coup inclus {n}$ un vecteur normal d'unité, et $g_ {ij}$ le tenseur métrique .

Une surface est un minimal de la surface si et seulement si la courbure moyenne est zéro. En outre, on dit qu'une surface qui évolue sous la courbure moyenne du $extérieur S$ , obéit un chaleur-type l'équation appelée l'équation de l'écoulement de courbure moyenne de .

La sphère est la seule surface de la courbure moyenne positive constante sans frontière ou singularités.

Surfaces dans l'espace 3D

Pour une surface définie dans l'espace 3D, la courbure moyenne est liée à un normal d'unité de la surface : = du

$2 de H \ nabla \ cdot \ chapeau n$

là où les affects choisis normaux le signe de la courbure. Le signe de la courbure dépend du choix de la normale : la courbure est positive si la surface courbe le " ; away" ; de la normale. Les prises ci-dessus de formule pour des surfaces dans l'espace 3D défini de toute façon, tant que la divergence de la normale d'unité peut être calculée.

Pour le cas spécial d'une surface définie en fonction de deux coordonnées, par exemple $z = S (x, y)$ , (deux fois) l'expression de courbure moyenne est le $de \ commencent {aligner} 2 H et = \ nabla \ cdot \ est parti (\ frac {\$

de nabla (S - z)} Courbure moyenne dans les caractéristiques aérodynamiques

Une définition alternative est de temps en temps employée dans les caractéristiques aérodynamiques pour éviter des facteurs de deux :

H_f de  = (\ kappa_1 + \ kappa_2).

Ceci a comme conséquence la pression selon l'équation de Jeune-Laplace de à l'intérieur d'une gouttelette sphérique d'équilibre étant les temps $H_f$ de la tension superficielle ; les deux courbures sont égales au réciproque du rayon de la gouttelette : $\ kappa_1 = \ kappa_2 = r^ {- 1}$ .

Surfaces minimales

Une surface minimale est une surface qui a la courbure moyenne nulle à tous les points. Les exemples classiques incluent le Catenoid , le Helicoid et le Enneper extérieur. Découvertes de Recient comprenant la surface minimale de la côte de et le Gyroid .

Une prolongation de l'idée d'une surface minimale sont des surfaces de la courbure moyenne constante .

Voir également

courbure gaussienne
Écoulement de courbure moyenne de

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