Courbe plate cubique
Dans les mathématiques , une courbe plate cubique est un algébrique C de la courbe d'avion de défini par une équation cubique F ( X , Y , Z ) DE
DE
- = 0
appliqué aux coordonnées homogènes pour l'avion projectif ; ou la version non homogène pour le affinent l'espace déterminé en plaçant le Z = 1 dans une telle équation. Ici le F est une combinaison linéaire différente de zéro des monômes du degré trois X 3, Y DE
DE
- DU X 2,…, Z 3
dans le X , le Y , et le Z . Ce sont dix en nombre ; donc les courbes cubiques forment un espace projectif de la dimension 9, au-dessus de n'importe quel donné K du champ . Chaque P de point impose un état linéaire simple au F , si nous demandons que passage du C par le P . Par conséquent nous pouvons trouver une certaine courbe cubique par neuf points donnés quelconques.
Une courbe cubique peut avoir un point singulier ; dans ce cas elle fait rayer une paramétrisation en termes de projectif . Autrement une courbe cubique non singulière du est connue pour avoir neuf points d'inflexion , au-dessus d'un champ algébriquement fermé du tel que les nombres complexes ceci peut être montré en prenant la version homogène de la matrice hessoise , qui définit encore un cubique, et en l'intersectant avec le C ; les intersections sont alors comptées par le théorème de Bézout de . Ces points ne peuvent pas cependant tous être vrais, de sorte qu'ils ne puissent pas être vus dans le vrai avion projectif en dessinant la courbe. Les vrais points des courbes cubiques ont été étudiés par le Isaac Newton ; ils tombent dans un ou deux « ovales ».
Un cubique non singulier définit une courbe elliptique , au-dessus de n'importe quel K de champ pour lequel elle fait définir un point. Des courbes elliptiques sont maintenant normalement étudiées dans une certaine variante des fonctions elliptiques de Weierstrass de , définissant une prolongation quadratique du champ des fonctions raisonnables faites en extrayant la racine carrée d'un cubique. Ceci dépend de avoir un K - le point raisonnable, qui sert de point de à l'infini sous la forme de Weierstrass. Par exemple, il y a beaucoup de courbes cubiques qui n'ont aucun un tel point, quand le K est le champ du nombre raisonnable .
Les points singuliers d'une courbe cubique d'avion sont tout à fait limités : un double point , ou un tranchant .
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