Courbe

Dans les mathématiques , le concept d'une courbe essaye de capturer l'idée intuitive d'un géométrique objet continu unidimensionnel de et de . Un exemple simple est le cercle . Dans l'utilisation journalière du " de limite ; curve" ; , une ligne droite n'est pas courbée, mais dans le langage mathématique les courbes incluent les lignes droites et la ligne segments. Un grand nombre d'autres courbes ont été étudiées dans la géométrie .

Cet article est au sujet de la théorie générale. La courbe de limite est également employée dans les manières le rendant presque synonyme de fonction mathématique (comme dans courbe d'apprentissage de ), ou le graphique de d'une fonction (courbe de Phillips de ).

Définitions

Dans les mathématiques , la courbe (topologique) d'a est définie comme suit. Laisser $I$ être un intervalle des vrais nombres (c. un sous-ensemble de relié par non vide de $\ de mathbb {R}$ ). Puis un $\ ! \, \ gamma$ est un continu du traçant le $de \, \ ! \ gamma : I \ rightarrow X$ , où $X$ est un espace topologique . Le $de courbe \ ! \, \ gamma$ serait le simple si c'est le injectif, c. si pour tout le $x$ , $y$ dans $I$ , nous prenons le $(x) = \ gamma (y) \ implique x = y$ . Si $I$ est un $d'intervalle lié \, \ ! b$ , nous permettons également le $de possibilité \, \ ! \ gamma (a) = \ gamma (b)$ (cette convention permet pour parler de la courbe simple fermée). < ! -- Je pense l'utilisation à tous \ ! \, est en haut contre le " de directive de wp ; éviter à tout le coût PNGs" intégré ; , Je ne peux pas voir la justification pour elle. - MFH --> Si $\ gamma (x)= \ gamma (y)$ pour un certain $x \ Ne y$ (autre que les extrémités de $I$ ), puis $\ gamma (x)$ s'appelle un point du double (ou le multiple) de la courbe.

Un $de courbe \ ! \, \ gamma$ serait par clôturé ou une boucle si $\, \ ! I = b$ et si $\ ! \, \ gamma (a) = \ gamma (b)$ . Une courbe fermée est ainsi une cartographie continue du cercle $S^1$ ; une courbe fermée simple s'appelle également une courbe de la Jordanie de .

Une courbe plate de de est une courbe pour laquelle le X est le &mdash euclidien de l'avion ; ce sont le &mdash d'abord produit d'exemples ; ou dans certains cas l'avion projectif . Une courbe d'espace de est une courbe pour laquelle le X est de trois dimensions, habituellement l'espace euclidien ; une courbe de biais de est une courbe d'espace qui se situe dans aucun avion. Ces définitions s'appliquent également aux courbes algébriques (voir ci-dessous). Cependant, dans le cas des courbes algébriques il est très commun pour ne pas limiter la courbe à avoir des points seulement définis au-dessus des vrais nombres.

Cette définition de courbe capture notre notion intuitive d'une courbe comme figure géométrique reliée et continue qui est " ; like" ; une ligne, sans épaisseur et dessiné sans interruption, bien qu'elle inclue également les figures qui peuvent à peine s'appeler les courbes dans l'utilisation commune. Par exemple, l'image d'une courbe peut couvrir une place dans l'avion (courbe servante à blanc ). L'image de la courbe plate simple peut avoir la dimension plus grand qu'un de Hausdorff de (voir le flocon de neige de Koch de ) et même la mesure positive de Lebesgue de du (le dernier exemple peut être obtenu par la petite variation de la construction de courbe de Peano). La courbe de dragon de est encore un autre d'exemple étrange.

Conventions et terminologie

La distinction entre une courbe et son image est importante. Deux courbes distinctes peuvent avoir la même image. Par exemple, une ligne le segment peut être tracée dehors à différentes vitesses, ou un cercle peut être traversé un nombre de fois différent. Beaucoup de fois, cependant, nous sommes simplement intéressés par l'image de la courbe. Il est important de payer l'attention au contexte et la convention dans la lecture.

La terminologie n'est également pas uniforme. Souvent, les topologists emploient le " de limite ; " du chemin ; pour ce que nous appelons une courbe, et " ; curve" ; pour ce que nous appelons l'image d'une courbe. Le " de limite ; curve" ; est plus commun dans le calcul de vecteur de et la géométrie différentielle .

Longueurs des courbes

article principal de

: Longueur d'arc

Si $X$ est un espace métrique avec $d$ métrique, alors nous pouvons définir la longueur de d'un $de courbe \ ! \, \ gamma : b \ rightarrow X$ près = de $\ mbox de {longueur} (\ gamma) \ sup \ parti \ {\ ^n d de sum_ {i=1} (\, de gamma (t_i) \ gamma (t_ {i-1})) : n \ dans \ mathbb {} de N \ mbox {et} a = t_0 < t_1 < \ cdots < t_n = b \ droit \}.$

Une courbe rectifiable est une courbe avec la longueur finie du . Une paramétrisation de $\ ! \, \ gamma$ s'appelle le normal (ou la vitesse d'unité de ou le parametrised par longueur d'arc ) si pour n'importe quel $t_1$ , $t_2$ dans le $b$ , nous prenons $de \ mbox {longueur} (\ gamma|_ {}) =|t_2-t_1|.$

Si $\ ! \, \ gamma$ est une fonction Lipschitz-continue du , puis elle est automatiquement rectifiable. D'ailleurs, dans ce cas-ci, on peut définir la vitesse du $\ ! \, \ gamma$ à $t_0$ As = de $\ mbox de {vitesse} (t_0) \ limsup_ {t \ à t_0} {d (\ gamma (t), \ gamma (t_0))\ plus de |t-t_0|}$

et puis = de $\ mbox de {longueur} (\ gamma) \ int_a^b \ mbox {vitesse} (t) \, dt.$

En particulier, si = de $X \ mathbb {R} ^n$ est l'espace euclidien et $\ gamma : b \ rightarrow \ mathbb {R} ^n$ est le différentiable alors = de $\, \ droit| \, décollement.$

La géométrie différentielle

voient également : La géométrie différentielle de du

s courbes

Tandis que les premiers exemples des courbes qui sont rencontrées sont la plupart du temps les courbes plates (c'est-à-dire, dans le langage de tous les jours, le incurvé raye dans l'espace bidimensionnel de ), il y a des exemples évidents tels que la spirale qui existent naturellement dans trois dimensions. Les besoins de la géométrie, et également par exemple la mécanique classique sont d'avoir une notion de courbe dans l'espace de tout nombre de dimensions. Dans la relativité générale , une ligne du monde de est une courbe dans l'espace-temps .

Si $X$ est une tubulure différentiable , alors nous pouvons définir la notion de la courbe différentiable de dans $X$ . Cette idée générale est assez pour couvrir plusieurs des applications des courbes dans les mathématiques. D'un point de vue local on peut prendre $X$ pour être l'espace euclidien . D'une part il est utile d'être plus général, du fait (par exemple) il est possible de définir les vecteurs de tangente de à $X$ au moyen de cette notion de courbe.

Si $X$ est une tubulure douce , une courbe lisse de dans $X$ est une carte lisse $de \ ! \, \ gamma : I \ rightarrow X.$

C'est une notion de base. Il y a moins et des idées plus restreintes, aussi. Si $X$ est une tubulure de $C^k$ (c., une tubulure dont les diagrammes sont le sans interruption différentiable de temps de $k$ ), alors une courbe de $C^k$ dans $X$ est une telle courbe on assume que seulement qui est $C^k$ (c. $k$ chronomètre sans interruption différentiable). Si $X$ est une tubulure analytique (c. infiniment différentiable et des diagrammes être exprimable en tant que série entière ), et $\ ! \, \ gamma$ est une carte analytique, puis $\ ! \, \ gamma$ serait une courbe analytique de .

Une courbe différentiable serait le régulier si son dérivé ne disparaît jamais. (Dans les mots, une courbe régulière ne ralentit jamais à un arrêt ou fait marche arrière sur elle-même.) Deux courbes différentiables de $C^k$ $de \ ! \, \ gamma_1 : I \ rightarrow X$ et $de \ ! \, \ gamma_2 : J \ rightarrow X$

serait le équivalent s'il y a une carte bijective du $C^k$ $de \ ! \, p : J \ rightarrow I$

tels que la carte inverse $de \ ! \, p^ {- 1} : I \ rightarrow J$

est également $C^k$ , et $de \ ! \, \ = du gamma_ {2} (t) \ gamma_ {1} (p (t))$

pour tout le $t$ . Le $de carte \ ! \, \ gamma_2$ s'appelle un reparametrisation $\ ! \, \ gamma_1$ ; et ceci fait à un la relation d'équivalence sur l'ensemble de toutes les courbes différentiables de $C^k$ dans $X$ . Un arc $C^k$ est une classe d'équivalence des courbes de $C^k$ sous la relation du reparametrisation.

Courbe algébrique

voient également :

algébrique de la courbe

Les courbes algébriques sont les courbes considérées dans la géométrie algébrique . Une courbe algébrique plate est le lieu du f ( X , y ) de points = 0, où le f ( X , y ) est un polynôme dans deux variables définies au-dessus d'un certain F de champ. La géométrie algébrique regarde normalement de telles courbes dans le cadre des champs algébriquement fermés si le K est la fermeture algébrique du F , et le C est une courbe définie par un polynôme f ( X , y ) défini au-dessus du F , les points de la courbe définie au-dessus du F , se composant des paires ( un , b ) avec le un et le b dans le F , peut être le dénoté C ( F ) ; la pleine courbe elle-même étant C ( K ).

Les courbes algébriques peuvent également être des courbes d'espace, ou des courbes dans encore des dimensions plus élevées, obtenues comme intersection (solution commune réglée) de plus d'une équation polynôme dans plus de deux variables. En éliminant des variables au moyen du résultant, ceux-ci peuvent être réduits aux courbes algébriques d'avion de qui cependant peuvent présenter des singularités telles que des tranchants ou de doubles points. Nous pouvons également considérer ces courbes pour avoir des points définis dans l'avion projectif ; si le f ( X , y ) = 0 puis si le X = u / W et y = v / W , et le n est tout le degré de f , puis en augmentant dehors le f ( u / W , v / W ) = 0 du n de ^{du W nous obtenons le g ( u , v , W ) = 0, où le g est le homogène du n de degré . Un exemple est le n de ^{du u de la courbe de Fermat de} + n de ^{du v} = n} de ^{du W , qui a un n de ^{du X de forme d'affinage} + n de ^{du y} = 1.}

Les exemples importants des courbes algébriques sont le Conics qui sont les courbes non singulières du degré deux et du genre zéro de , et les courbes elliptiques qui sont les courbes non singulières du genre un étudié dans la théorie des nombres et qui ont des applications importantes à la cryptographie . Puisque des courbes algébriques dans les domaines du caractéristique zéro le plus souvent sont étudiées au-dessus des courbes algbebraic complexes des nombres dans la géométrie algébrique ressembler à de vraies surfaces du . Les regardant projectively, si nous avons une courbe non singulière dans des dimensions du n , nous obtenons une image dans l'espace projectif complexe du n , qui de dimension correspond à une vraie tubulure du n de la dimension 2, dans lequel la courbe est une surface douce et compacte incluse avec un certain nombre de trous dans lui, le genre. En fait, les courbes algébriques projectives complexes non singulières sont les surfaces compactes de Riemann de du

Histoire

Une courbe peut être un lieu , ou un chemin. C'est-à-dire, ce peut être une représentation graphique d'une certaine propriété des points ; ou il peut être tracé dehors, par exemple par un bâton dans le sable sur une plage. Naturellement si on indique incurvé dans la langue ordinaire, il signifie coudé (non droit), se rapporte ainsi à un lieu. Ceci mène à l'idée générale de la courbure . Comme nous comprenons maintenant, après la dynamique newtonienne , pour suivre un chemin incurvé un corps doit éprouver l'accélération . Avant ce, l'application des idées courantes (par exemple) la physique du Aristote est probablement anachronique. C'est important parce que les exemples importants des courbes sont les orbites des planètes. Une raison pour l'usage du système Ptolemaic de l'épicycle de et déférent de était le statut spécial accordé au cercle comme courbe.

Les sections coniques avaient été profondément étudiées par le Apollonius de Perga . Elles ont été appliquées dans l'astronomie par le Kepler . Les géomètres grecs avaient étudié beaucoup d'autres genres de courbes. Une raison était leur intérêt pour les constructions géométriques, allant au delà de la boussole et de la règle . De cette façon, l'intersection des courbes a pu être employée pour résoudre quelques équations polynômes comme cela impliqué dans le Trisecting un angle .

Newton a également travaillé sur un exemple tôt dans le calcul de des variations . Les solutions aux problèmes variationnels, tels que le Brachistochrone et des questions de Tautochrone , ont présenté des propriétés des courbes de nouvelles manières (dans ce cas-ci, le cycloïdal). La caténaire obtient son nom comme solution au problème d'une chaîne accrochante, la sorte de question qui est devenue par habitude accessible au moyen de calcul différentiel .

En XVIIIème siècle sont venus les commencements de la théorie de courbes algébriques plates, en général. Newton avait étudié les courbes cubiques dans la description générale des vrais points dans des « ovales ». Le rapport du théorème de Bézout de a montré qu'un certain nombre d'aspects ce qui n'étaient pas directement accessibles à la géométrie du temps, faisaient avec les points singuliers et les solutions complexes.

Du 19ème siècle il n'y a pas une théorie séparée de courbe, mais plutôt l'aspect des courbes comme aspect unidimensionnel de la géométrie projective , et de la géométrie différentielle ; et une plus défunte topologie , quand par exemple on a compris que le théorème de courbe de la Jordanie de se trouve tout à fait profondément, aussi bien qu'être exigée dans l'analyse complexe . L'ère des courbes servantes à blanc a finalement provoqué les définitions modernes de la courbe.

Voir également

liste paramétrique de de

de l'orientation

de courbe de de

du cercle d'Osculating de de

de la courbe

de
de liste de de

des courbes

de chemin de de

des matières

de courbe (topologie)

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