Coset

Dans les mathématiques , si le G est un groupe , le H de un sous-groupe du G , et du g un élément du G , puis gH de = { gh : h un élément de &thinsp du H ;} est un laissé le coset du H dans le G , et le hectogramme de
= { hectogramme : h un élément de &thinsp du H ;} est un coset de droite de du H dans le G . Seulement quand le H est le normal les bons et gauches cosets du H coïncidera, qui est une définition de la normalité d'un sous-groupe.

Un coset est un coset gauche ou bon de sous-groupe d'un certain dans le G . Depuis le hectogramme = &thinsp du g ; (&thinsp ; ^{&minus du g ; &thinsp de l'hectogramme du 1} ;), le bon hectogramme de cosets (du &thinsp de H ;) et le &thinsp gauche du g de cosets ; (&thinsp ; ^{&minus du g ; &thinsp de l'hectogramme du 1} ;) (du ^{&minus de g de sous-groupe de conjugé ; &thinsp de l'hectogramme du 1} ;) sont les mêmes. Par conséquent il n'est pas signicatif pour parler d'un coset en tant qu'étant parti ou exact à moins qu'un premier spécifie le sous-groupe fondamental.

Pour les groupes abéliens ou les groupes écrits additif, la notation a employé des changements au g + H et H + g respectivement.

Exemples

Le cyclique Z du groupe additif ₄ = {0, 1, 2, 3} = le G a un H de sous-groupe = {0, 2} ( isomorphe à Z ₂). Les cosets gauches du H dans le G sont le
0 de
+ le H = {0, 2} = le
1 du H + le H = {1, 3} le
2 + le H = {2, 0} = le
3 du H + le H = {3, 1} Il y a donc deux cosets, H lui-même, et 1 distincts + le H = 3 + le H . Noter ce ∪ du H (1 + le &thinsp de H ;) = le G , ainsi les cosets distincts du H dans le G divisent le G . Puisque le Z ₄ est un groupe abélien , les bons cosets seront identiques que la gauche (il n'est pas difficile vérifier ce).

Un autre exemple d'un coset relève de la théorie des espaces de vecteur les éléments (vecteurs) d'une forme d'espace de vecteur par groupe abélien de l'addition de vecteur . Il n'est pas difficile de prouver que les sous-espaces d'un espace de vecteur sont les sous-groupes de ce groupe. Pour un V de l'espace de vecteur, un W de sous-espace, et un fixe de vecteur un dans le V , le $X = a + n, n \ dans W \}$
s'appellent le affinent les sous-espaces et sont des cosets (tous les deux gauches et droits, puisque le groupe est abélien). En termes de vecteurs géométriques du , ceux-ci affinent des sous-espaces sont tout le " ; lines" ; ou " ; planes" ; parallèle au sous-espace, qui est une ligne ou un avion passant par l'origine.

Propriétés générales

Nous avons le gH = H si et seulement si le g est un élément du H , puisque car le H est un sous-groupe, il doit être fermé et doit contenir l'identité.

Deux cosets gauches quelconques sont ou identiques ou le disjoignent -- les cosets gauches forment une cloison du G : chaque élément du G appartient à un et seulement un a laissé le coset. En particulier l'identité est seulement dans un coset, et ce coset est le H lui-même ; c'est également le seul coset qui est un sous-groupe. Nous pouvons voir ceci clairement dans les exemples ci-dessus. Les cosets gauches du H dans le G sont les classes d'équivalence en sous la relation d'équivalence sur le G donné par le y de ~ du X si et seulement si ^{du X ; - 1} H de ∈ du y . Les rapports semblables sont également vrais pour de bons cosets.

Un représentant de coset de est un représentant dans le sens de classes d'équivalence. Un ensemble de représentants de tous les cosets s'appelle un transversal. Il y a d'autres types de relations d'équivalence dans un groupe, tel que le conjugacy, qui forment les différentes classes qui n'ont pas les propriétés discutées ici. Quelques livres sur la théorie de groupe très appliquée identifient incorrectement la classe de conjugacy comme « » classe d'équivalence par opposition à un type particulier de classe d'équivalence.

Tous les cosets gauches et tous les bons cosets ont le même ordre (nombre de d'éléments, ou cardinalité dans le cas d'un infini H ), égaux à l'ordre du H (parce que le H est lui-même un coset). En outre, le nombre de cosets gauches est égal au nombre de bons cosets et est connu comme index du H dans le G , écrit comme : &thinsp de '' H '' ;. Le théorème de Lagrange de nous permet de calculer l'index dans le cas où le G et le H sont finis, selon la formule : | &thinsp du G ; | = : &thinsp de '' H '' ; · | &thinsp du H ; | Cette équation tient également dans le cas où les groupes sont infinis, bien que la signification puisse être moins claire.

Cosets et normalité

Si le H n'est pas le normal dans le G , alors ses cosets gauches sont différents de ses bons cosets. C'est-à-dire, il y a un par dans le G tels qu'aucun b d'élément ne satisfait le oh = HB de . Ceci signifie que la cloison du G dans les cosets gauches du H est une cloison différente que la cloison du G dans de bons cosets du H . (Il est important de noter que le des cosets d'un certain peut coïncider. Par exemple, si le un est au centre du G , puis oh = ha .)

D'une part, le N de sous-groupe est normal si et seulement si le GN = NG de pour tout le g dans le G . Dans ce cas-ci, l'ensemble de tous les cosets constituent un groupe appelé le &thinsp du G du groupe de quotient de ; / H avec le &lowast d'opération ; défini par (&thinsp de oh ;)&lowast ; (&thinsp du BH de ;) = abH de . Puisque chaque bon coset est un coset gauche, il n'y a aucun besoin de différencier le " ; cosets" gauche ; du " ; bon cosets" ;.

Index fini

Un infini G de groupe peut avoir le H de l'index fini (par exemple, même les nombres entiers de sous-groupes à l'intérieur du groupe de nombres entiers). Un tel sous-groupe contient toujours un normal N du sous-groupe (de G ), aussi d'index fini. En fait, si le H a le n d'index, puis l'index du N peut être pris en tant que certain facteur du n !. Ceci peut être vu plus concrètement, en considérant l'action de permutation du G par multiplication sur les cosets gauches du H (ou, également, sur les bons cosets). Ceci fournit un groupe de quotient de G , le grain de cette représentation de permutation, qui est un sous-groupe du groupe symétrique sur des éléments du n .

Un cas spécial, le n = 2, donne le résultat général qu'un sous-groupe de l'index 2 est un sous-groupe normal.

Voir également

groupe de quotient de de

du théorème

de Lagrange de de

du tas

de de

du coset

de double de

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