Convergence uniforme

Dans le domaine mathématique du de l'analyse , la convergence uniforme est un type de convergence plus forte que la convergence de Pointwise de . Un ordre { n de de _{de f } de des fonctions converge uniformément à un f de fonction de limitation si la vitesse de la convergence du n} ( X ) de _{du f au f ( X ) ne dépend pas du X .}

Le concept est important parce que plusieurs propriétés du n de _{du f de fonctions, tel que la continuité et l'integrability de Riemann de , sont transférées au f de la limite si la convergence est uniforme.}

Histoire

Le Augustin Louis Cauchy dans 1821 a édité une preuve défectueuse de la fausse déclaration que la limite de pointwise d'un ordre des fonctions continues est toujours continue. Le Joseph Fourier et le Niels Henrik Abel ont trouvé de contre- exemples dans le cadre des séries de Fourier De . Preuve de Dirichlet Cauchy alors analysé de et trouvé l'erreur : la notion de la convergence de pointwise a dû être remplacée par convergence uniforme.

Le concept de la convergence uniforme était probablement premier employé par le Christoph Gudermann . Plus tard son Karl Weierstrass de pupille a inventé le gleichmäßig konvergent ( allemand de de limite : uniformément convergent) ce qu'il a employé dans son der de papier Potenzreihen de Zur Theorie du 1841, édité en 1894. Indépendamment un concept semblable a été employé par le Philipp Ludwig von Seidel et le George Gabriel charge mais sans avoir n'importe quel impact principal sur le développement ultérieur. robuste compare les trois définitions dans son monsieur de papier George Stokes et le concept de de la convergence uniforme et des remarques : La découverte de Weierstrass de était la plus tôt, et lui seul entièrement réalisé son importance de grande envergure en tant qu'une des idées fondamentales de l'analyse.

Sous l'influence de Weierstrass et de Bernhard Riemann ces concept et questions relatives ont été intensément étudiés à la fin du 19ème siècle par le Hermann Hankel , le Paul du Bois-Reymond , le Ulisse Dini , le Cesare Arzelà et d'autres.

Définition

Supposer que le S est un le réglé n de _{de et de f : Le R de → du S sont le vrai - fonctions évaluées pour chaque n du nombre normal . Nous disons que l'ordre ( n} de _{de f ) est le uniformément convergent avec le f de limite : R de → du S si pour chaque ε > 0, existe là un N de nombre normal tels que pour tout le X dans le S et tout le N de ≥ du n , | &minus du n} ( X ) de _{du f ; f ( X )| < ε.}

Considérer le &alpha de d'ordre ; _n = sup| &minus du n ( X ) de _{du f ; f ( X )|. Clairement le n} de _{du f va au du f uniformément si et seulement si &alpha de de ; _n va à 0.}

L'ordre ( n de _{de f ) serait le localement uniformément convergent avec le f de limite si pour chaque X dans le S , là existe un r > 0 tels que ( n} de _{de f ) converge uniformément sur le S de ∩ du B ( X , r ).}

Random links:

Centre de sécurité de l'information de technologie de la Géorgie | Ferdinand Piëch | Benny Friedman | Convergencia_uniforme