Contre-exemple
Dans la logique , et particulièrement dans ses applications aux mathématiques et à la philosophie , un contre-exemple est une exception à une règle générale proposée, c., un exemple spécifique de la fausseté d'une quantification universelle (un " de ; pour l'all" ; rapport).
Par exemple, considérer le " de proposition ; tous les étudiants sont lazy" ;. Puisque ce rapport introduit la réclamation qu'une certaine propriété (paresse) juge pour le tous les étudiants de , même un exemple simple du d'un étudiant diligent le prouvera faux. Ainsi, n'importe quel étudiant assidu est un contre-exemple au " ; tous les étudiants sont lazy" ;.
Dans les mathématiques, ce terme (par un léger abus) fréquemment est employé également pour des exemples illustrant la nécessité de la pleine hypothèse d'un théorème, en considérant un cas où une partie de l'hypothèse n'est pas vérifiée, et où on peut prouver que la conclusion ne se tient pas.
Preuve
En termes de logique symbolique , les contre-exemples fonctionnent comme suit :
La proposition à réfuter est du P ( X ) du X de la forme FORALL.
Le contre-exemple fait un rapport vrai du P ( c ) de forme PAS, où le c est le contre-exemple.
Supposer que le P ( X ) du X de la proposition FORALL est vrai.
Par l'instanciation universelle , déduire le P ( c ) de ceci.
Après, former le P ( c ) de la conjonction ET PAS le P ( c ).
C'est une contradiction , montrant que notre P ( X ) du X de la prétention FORALL est en fait le faux.
Bien que cet argument soit une preuve de par la contradiction , il ne se fonde pas sur la négation de double de , ainsi cela fonctionne dans la logique intuitionniste aussi bien que dans la logique classique .
Le " d'expression ; le l'exception prouve le " de la règle ; semble être contradictoire. Un terrain communal l'idée fausse est que quand ceci a été à l'origine énoncé comme maxime, " ; proof" ; " signifié ; test" ;. En fait, car l'OED explique, l'origine de l'expression est une maxime légale, signifie dont, d'une façon générale, cela quand quelque chose est traitée comme exception, nous pouvons impliquer qu'il y a une règle générale à l'effet contraire.
Ce qui précède peut également être compris en notant que la négation du " d'expression ; pour tout le x, P (x)" ; est rien d'autre mais le " ; il y a x tels que pas P (x)" ; (où P (x) est n'importe quelle proposition selon x).
Utilisations
Dans les mathématiques
Dans les mathématiques, les contre-exemples sont employés souvent pour sonder les frontières des théorèmes possibles. En employant des contre-exemples pour prouver que certaines conjectures sont les chercheurs faux et mathématiques évitent de descendre les ruelles aveugles et apprennent comment modifier des conjectures pour produire des théorèmes prouvables.Pour un exemple de jouet, considérer la situation suivante : Supposer que vous étudiez Orcs, et vous souhaitent prouver certains théorèmes au sujet de eux. Par exemple, vous avez déjà montré que tout l'Orcs sont mauvais. Maintenant vous essayez de montrer que tout l'Orcs sont mortel. Si vous n'avez aucune chance trouvant une preuve, vous pourriez commencer à regarder à la place pour Orcs qui ne sont pas mortel. Quand vous trouvez un, c'est un contre-exemple à votre théorème proposé, ainsi vous pouvez cesser d'essayer de le prouver.
Cependant, peut-être vous avez noté que, quoique vous puissiez trouver les exemples d'Orcs qui ne sont pas mortels, vous néanmoins ne trouvez aucun exemple d'Orcs qui ne sont pas dangereux du tout. Alors vous avez une nouvelle idée pour un théorème, cet tout l'Orcs êtes dangereux. C'est plus faible que votre proposition originale, puisque chaque créature mortelle est dangereuse, quoique non chaque créature dangereuse soit mortelle. Cependant, c'est toujours une chose très utile à savoir, ainsi vous pouvez essayer de la prouver. D'une part, peut-être vous avez noté qu'aucun des contre-exemples que vous avez trouvés à votre conjecture originale n'était Uruk-Hai. Alors vous pourriez proposer une nouvelle conjecture, cet tout l'Uruk-Hai êtes mortel. Encore, c'est plus faible que votre proposition originale, puisque la plupart d'Orcs ne sont pas Uruk-Hai. Cependant, si vous êtes la plupart du temps intéressé par Uruk-Hai, puis ceci être toujours un théorème très utile.
Un contre-exemple mathématique serait n'importe quoi de pareil : Si vous aviez un théorème qui a indiqué le " ; tous les nombres qui ne sont pas négatifs sont positifs, " ; et quelqu'un a précisé que zéro n'est pas négatif, mais n'est également pas positif, puis zéro serait un contre-exemple. C'est un contre-exemple très évident, mais la même idée fondamentale porte dans des secteurs plus compliqués des mathématiques.
Using des contre-exemples de cette façon avérés être si utile qu'il y ait rassemblement de plusieurs livres ils : Lynn Arthur Steen et J. : Les contre-exemples dans la topologie, Springer, New York 1978, ISBN 0-486-68735-X, voient des contre-exemples de dans la topologie .
En philosophie
En philosophie , des contre-exemples sont habituellement employés pour arguer du fait qu'une certaine position philosophique est erronée en prouvant qu'elle ne s'applique pas dans certains cas. À la différence des mathématiciens les philosophes ne peuvent pas prouver leurs réclamations au delà d'aucun doute, ainsi d'autres philosophes sont libres pour être en désaccord et essayer de trouver des contre-exemples dans la réponse. Naturellement, maintenant le premier philosophe peut arguer du fait que le contre-exemple allégué ne s'applique pas vraiment. Alternativement, le premier philosophe peut modifier leur réclamation de sorte que le contre-exemple ne s'applique plus ; c'est analogue à quand un mathématicien modifie une conjecture en raison d'un contre-exemple.
Par exemple, dans Gorgias s de Platon ', Callicles, essayant de définir ce que signifie il pour indiquer que certains sont " ; better" ; que d'autres, réclame que ceux qui sont plus forts soient meilleurs. Mais Socrates répond que, en raison de leur force des nombres, la classe de la cohue commune est plus forte que la classe possédante des nobles, quoique les masses soient le à première vue d'un plus mauvais caractère. Ainsi Socrates a proposé un contre-exemple à la réclamation de Callicles, par le regard dans un secteur que Callicles peut-être ne s'est pas attendu -- groupes de personnes plutôt que différentes personnes. Callicles pourrait contester le contre-exemple de Socrates, discutant peut-être que la cohue commune sont vraiment meilleure que les nobles, ou que même dans leurs grands nombres, ils ne sont toujours pas plus forts. Mais si Callicles accepte le contre-exemple, alors lui doit retirer sa réclamation ou la modifier de sorte que le contre-exemple ne s'applique plus. Par exemple, il pourrait modifier sa réclamation pour se référer seulement à différentes personnes, exigeant de lui de penser aux gens du commun comme collection d'individus plutôt qu'en tant que foule. Pendant qu'elle se produit, il modifie sa réclamation pour dire le " ; wiser" ; au lieu du " ; stronger" ; , arguant du fait qu'aucune quantité de supériorité numérique ne peut rendre des personnes plus sages.
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