Contraction de tenseur

Dans l'algèbre multilinéaire , une contraction de tenseur de est une somme de produits des composants scalaires d'un ou plusieurs tenseurs provoqués en s'appliquant la convention d'addition à une paire d'index factices qui sont liés entre eux dans une expression. La contraction d'un tenseur mélangé par simple se produit quand une paire d'index littéraux (un un indice inférieur, l'autre un indice supérieur) du tenseur est placée égale entre eux et plus d'additionnée. Dans la notation d'Einstein de cette addition est établie dans la notation. Le résultat est un autre tenseur avec le grade réduit de 2.

La contraction de tenseur peut être vue comme généralisation de la multiplication de Matrix de .

Contraction d'un tenseur avec lui-même

Donné un a mélangé le tenseur du type ( m , n ) au &ge du m ; 1 et &ge du n ; 1, alors laissant une paire des index, un contravariant et d'un covariant, soit marqué avec la même lettre impliquera une addition au-dessus de ces deux index. Le résultat de l'addition sera un nouveau tenseur de type (&minus de m ; 1, &minus du n ; 1) qui héritera des index du tenseur pré-contracté excepté les paires d'index de qui ont été liés entre eux et au-dessus de ce qui la contraction a eu lieu. Exemple : = de _ de T^ de $Christ} \ sum_ {b} {_ de T^ {ab} {} {avant Jésus Christ}} = _ de T^ {a0} {} {0c} + _ de T^ {a1} {} {1c} + _ de T^ {a2} {} {2c} + _ de T^ {a3} {} {3c} + \ cdots = _c d'U^a {}.$

Contraction d'un tenseur dyadique

Si un tenseur est le dyadique puis sa contraction est un scalaire, qui est obtenu en pointillant chaque paire de vecteurs bas dans chaque dyade. Laissé $de \ mathbf {T} = _j de T^i {} \ mathbf {^j d'e_i.}$

être un tenseur dyadique. Alors sa contraction est

$T^i {} _j \ mathbf {} d'e_i \ cdot \ mathbf {e^j} = _j de T^i {} \ ^j$

de delta_i {} _j T^1 de T^j {} {} _1 + T^2 {} _2 + T^3 {} _3 ,

une grandeur scalaire (grade 0).

Par exemple, laisser = de $\ mathbf de {T} \ mathbf {^j de ^ d'e c.}$

être un tenseur dyadique. Ce tenseur ne se contracte pas ; si ses vecteurs bas sont pointillés le résultat est le tenseur métrique contravariant,

$g^ {ij} = \ mathbf {} d'e^i \ cdot \ mathbf {e^j}$ ,

à qui grade est 2.

Divergence de tenseur

le de d'ici en avant, supposent que les tenseurs sont quadridimensionnels.

Laissé $de V^ \ alpha {} _ {, \ bêta} = {\ V^ partiel \ alpha \ au-dessus de \ x^ \ bêta partiels}$ être le dérivé de covariant du $de vecteur \ du vec V$ dans des coordonnées cartésiennes.

&beta alors changeant d'index ; au &alpha ; fait devenir les paires d'index attachées entre eux, de sorte que le dérivé se contracte avec lui-même pour obtenir la somme suivante : $de V^ \ alpha {} _ {, \ alpha} = {} _ V^0 {, 0} + {} _ V^1 {, 1} + {} _ V^2 {, 2} + {} _ V^3 {, 3}$

ce qui est une divergence quadridimensionnelle . Puis $de V^ \ alpha {} _ {, \ alpha} = 0$

est une équation de continuité de pour le $\ vec V$ .

Contraction d'une paire de tenseurs

Si le V est un espace de vecteur au-dessus du k du champ et du V * est son espace de vecteur duel , alors la contraction est la transformation linéaire , de $\ langle \ cdot de \ cdot \ rangle : V^* \ otimes V \ rightarrow k$

donné près , de $\ langle \ tilde a de \ vec b \ = de rangle \ tilde a (\ vec b)$ .

Dans la notation d'index d'abrégé sur , une telle contraction est dénotée As $de \ tilde a (\ vec b) = a_ \ b^ \ gamma gamma$

et est la sténographie pour l'addition a_ de $de \ b^ \ gamma = a_0 gamma b^0 + a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3$

ce qui rapporte une grandeur scalaire.

Multiplication de Matrix

Des matrices peuvent être représentées comme tenseurs du type (1.1) avec le premier index étant Contravariant et le deuxième index étant le covariant . Laisser le $\ Lambda^ \ alpha {} _ \ bêta$ soit les composants d'une matrice et laisser le $\ Mu^ \ le bêtas {} _ \ gamma$ soit les composants d'une deuxième matrice. Alors leur multiplication est donnée par la contraction suivante : $\ Nu^ \ alpha {} _ \ gamma$ .

Contraction entre les tenseurs vus comme individu-contraction d'un tenseur composé

Dans la notation abstraite d'index, un préalable à une paire de tenseurs à contracter les uns avec les autres est pour qu'ils soient placés côte à côte (juxtaposé) comme facteurs de la même limite, mais faire rapporte tellement implicitement des composants d'un tenseur composé qui est le produit de tenseur des deux facteurs. Par exemple, donné le $du vecteur \ vec v$ et le $de l'Un-forme \ tilde u$ , juxtaposition de leurs composants, v^ de $de \ alpha u_ \ bêta,$

rapporte un $de tenseur \ vec composés v \ otimes \ tilde u$ dont les composants sont $de W^ \ alpha {} _ \ bêta = (\ vec v \ otimes \ u)^ de tilde \ alpha {} _ \ bêta = v^ \ alpha u_ \ bêta$ .

Lier alors les paires d'index rapporte entre eux une individu-contraction du W de tenseur qui rapporte une grandeur scalaire (un tenseur de grade zéro) : $de W^ \ alpha {} _ \ alpha = v^0 u_0 + v^1 u_1 + v^2 u_2 + v^3 u_3 = K.$

Cet exemple entre une paire des premiers tenseurs de rang peut être généralisé aux contractions entre les tenseurs du rang arbitraire : de telles contractions peuvent être vues comme le résultat des premiers tenseurs de juxtaposition dont les index ne sont pas encore liés entre eux, pour produire un tenseur composé qui est leur produit de tenseur. Lier alors une paire d'index entre eux, en produisant l'individu-contraction du tenseur composé, qui est équivalent à la contraction entre les tenseurs distincts.

Voir également

produit intérieur de de

du produit de tenseur de

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