Conjecture de Collatz

Comme ordre de parité

$f\; (n)\; =\; \backslash \; commencent\; \{cas\}\; n/2\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; équivalent\; 0\; \backslash \; \backslash \; (3n\; +1)/2\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; équivalent\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; cas\; \backslash \; pmod\; \{2\}.$

Ceci peut être fait parce que quand le n est impair, 3 le n + 1 est toujours égal.

Si P (…) est la parité d'un nombre, celui est P (2 n ) = 0 et P (2 le n + 1) = 1, puis nous peut définir l'ordre de parité de Collatz pour un n de nombre comme p_i = P ( a_i ), où un ₀ = n , et un i de _{de +1} = f ( un i de _{de ).}

Using cette forme pour le f ( n ), il peut montrer que les ordres de parité pour le m de deux nombres et le n conviendront dans les premières limites du k si et seulement si le m et le n sont le équivalent k du modulo 2^{. Ceci implique que chaque nombre est uniquement identifié par son ordre de parité, et d'ailleurs qui s'il y a multiple Collatz fait un cycle, puis leurs cycles correspondants de parité doivent être différents.}

La preuve est simple : il est facile de vérifier qu'à la main cela s'appliquant les temps du k de fonction du f au de nombre un b du k + de 2 ^{donnera au de résultat un d du c} + de 3^{, où le d est le résultat de s'appliquer les temps du k de fonction du f au b , et le c est combien des nombres impairs ont été produits pendant cet ordre. Ainsi la parité des premiers nombres du k est déterminée purement par le b , et la parité ( k +1) du nombre de Th changera si le moindre peu significatif du un est changé.}

La conjecture de Collatz peut être reformulée comme déclarant que l'ordre de parité de Collatz pour chaque nombre écrit par la suite le → 0 du → 1 du cycle 0.

Comme système d'étiquette

Pour la fonction de Collatz sous la forme

$f\; (n)\; =\; \backslash \; commencent\; \{cas\}\; n/2\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; équivalent\; 0\; \backslash \; \backslash \; (3n\; +1)/2\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; équivalent\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; cas\; \backslash \; pmod\; \{2\}$

les ordres de Collatz sont calculés par extrêmement le simple système d'étiquette du 2 dont les règles de production sont le $de$

\ commencent {des cas} \ d'a \ rarr avant Jésus Christ \ \ de b \ rarr a \ c \ rarr D. \ extrémité {cas}

et dans ce qu'un positif n de nombre entier est représenté par une corde du n $a$, avec l'itération de l'opération d'étiquette s'arrêtant sur tout mot de la longueur plus moins de 2.)

La conjecture de Collatz peut être reformulée comme déclarant que ce système d'étiquette, avec de la corde finie arbitraire de $a$ comme mot initial, s'arrête par la suite. Voir l'article lié pour un exemple travaillé.

Prolongements à de plus grands domaines

Réitérant sur le tous les nombres entiers de

f (n) = 3n + 1 si n est impair ; f (n) = n/2 si n est égal.

Intéressant, il y a dans ce cas-ci un total de cycles connus par du 5, que tous les nombres entiers semblent tomber par la suite dans l'itération de dessous du F. Ces cycles sont énumérés ici, commençant par le cycle bien connu pour le N.

Pour sauver des étapes, nous énumérons le seulement les nombres impairs du de chaque cycle (excepté le cycle insignifiant {0}). Chaque nombre impair n, quand f est appliqué à plusieurs reprises, atteindra après un nombre impair à (3n+1)/(le pouvoir le plus étendu de 2 qui divise 3n+1) ; chaque cycle est énuméré avec son membre de moindre valeur absolue d'abord. Nous suivons chaque cycle avec la taille du plein cycle du (entre parenthèses) : le nombre de membres, impairs ou même, appartenant à un cycle, comptés sans répétition.

a) 1 → 1 (taille 3)

b) 0 → 0 (taille 1)

c) -1 → -1 (taille 2)

d) -5 → du → -7 -5 (taille 5)

e) -17 → -17 (taille 18) du → -91 du → -61 du → -41 du → -55 du → -37 du → -25

Nous pouvons définir la conjecture de Collatz généralisée par comme affirmation que chaque nombre entier, sous l'itération par f, tombe par la suite dans un de ces cinq cycles a), b), c), d), ou e).

Itération sur des nombres raisonnables avec des dénominateurs impairs

Les ordres de parité comme définis ci-dessus ne sont plus uniques pour des fractions. Cependant, il peut montrer que n'importe quel cycle possible de parité est l'ordre de parité pour exactement une fraction : si un cycle a le n de longueur et inclut des temps du m de nombres impairs exactement au k ₀ d'index,…, le m -1 de _{du k , alors la fraction unique qui produit de ce cycle de parité est $de$}

\ frac {3^ {m-1} 2^ {k_0} +… + 3^0 2^ {k_ {m-1}}} {2^n - 3^m} .

Par exemple, le cycle de parité (1 0 1 1 0 0 1) ont la longueur 7 et ont 4 nombres impairs aux index 0, 2, 3, et 6. La fraction unique qui produit de ce cycle de parité est $de$

\ frac {3^3 2^0 + 3^2 2^2 + 3^1 2^3 + 3^0 2^6} {2^7 - 3^4} = \ frac {151} {47} .

Le cycle complet étant : 151/47 → 250/47 → 125/47 → 211/47 → 340/47 → 170/47 → 85/47 → 151/47

Bien que les permutations cycliques de l'ordre original de parité soient les fractions uniques, le cycle n'est pas unique, la fraction de chaque permutation étant le prochain nombre dans le cycle de boucle :

(0 1 1 0 0 1 1) $de\; \to \; \backslash \; frac\; \{3^3\; 2^1\; +\; 3^2\; 2^2\; +\; 3^1\; 2^5\; +\; 3^0\; 2^6\}\; \{2^7\; -\; 3^4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{250\}\; \{47\}$ $de\; \to \; du\; du$
(1 1 0 0 1 1 0) \ frac {3^3 2^0 + 3^2 2^1 + 3^1 2^4 + 3^0 2^5} {2^7 - 3^4} = \ frac {125} {47} du
(1 0 0 1 1 0 1) $de\; \to \; \backslash \; frac\; \{3^3\; 2^0\; +\; 3^2\; 2^3\; +\; 3^1\; 2^4\; +\; 3^0\; 2^6\}\; \{2^7\; -\; 3^4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{211\}\; \{47\}$ du
(0 0 1 1 0 1 1) $de\; \to \; \backslash \; frac\; \{3^3\; 2^2\; +\; 3^2\; 2^3\; +\; 3^1\; 2^5\; +\; 3^0\; 2^6\}\; \{2^7\; -\; 3^4\}\; =\; \backslash \; frac\; \{340\}\; \{47\}$ $de\; \to \; du\; du$
(0 1 1 0 1 1 0) \ frac {3^3 2^1 + 3^2 2^2 + 3^1 2^4 + 3^0 2^5} {2^7 - 3^4} = \ frac {170} {47} $de\; \to \; du\; du$
(1 1 0 1 1 0 0) \ frac {3^3 2^0 + 3^2 2^1 + 3^1 2^3 + 3^0 2^4} {2^7 - 3^4} = \ frac {85} {47}

En outre, pour l'unicité, l'ordre de parité devrait être " ; prime" ; , c., non partitionable dans des secondaire-ordres d'identicle. Par exemple, l'ordre de parité (1 1 0 0 1 1 0 0) peut être divisé dans deux secondaire-ordres identiques (1 1 0 0) (1 1 0 0). Le calcul de la fraction d'ordre de 8 éléments donne $de\; \to \; du\; du$
(1 1 0 0 1 1 0 0) \ frac {3^3 2^0 + 3^2 2^1 + 3^1 2^4 + 3^0 2^5} {2^8 - 3^4} = \ frac {125} {175} Mais une fois réduit aux plus basses limites {5/7}, c'est pareil que celui du $de\; \to \; du\; de\; secondaire-ordre\; de4\; éléments(1\; 1\; 0\; 0)\; \backslash \; du\; frac\; \{3^1\; 2^0\; +\; 3^0\; 2^1\}\; \{2^4\; -\; 3^2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{5\}\; \{7\}$ Et c'est parce que l'ordre de parité de 8 éléments représente réellement deux circuits du cycle de boucle défini par l'ordre de parité de 4 éléments.

Dans ce contexte, la conjecture de Collatz est équivalente à dire cela (0 1) sont le seul cycle qui est produit par des nombres entiers positifs (c.

Itération sur de vrais ou complexes nombres

(z) : = \ frac 1 2 z \ cos^2 \ est parti (\ frac \ pi 2 z \ droit) + (3z+1) \ sin^2 \ a laissé (\ frac \ pi 2 z \ droit) ,

quel simplifie à $\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; (2\; +\; 7z\; -\; (2\; +\; 5z)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; z))$.

Si la carte de Collatz de norme définie ci-dessus est optimisée en remplaçant le " ; 3 n + 1" ; avec le " ; (3 n + 1)/2" ; (voir des optimisations ci-dessous), il peut être regardé comme restriction aux nombres entiers de la vraie et complexe carte lisse $f\; de$

(z) : = \ frac 1 2 z \ cos^2 \ a laissé (\ frac \ pi 2 z \ droit) + \ frac 1 2 (3z+1) \ sin^2 \ a laissé (\ frac \ pi 2 z \ droit) ,

quel simplifie à $\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; (1\; +\; 4z\; -\; (1\; +\; 2z)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; z))$.

Le réitérant la carte ci-dessus optimisée dans le plan complexe produit la fractale de Collatz. style=" de

Optimisations

la fonction du f de cette section), divisent vers le haut le nombre courant en deux parts, le b (le k moindre peu significatif, interprété en tant que

nombre entier), et un (le reste du peu comme nombre entier). Le résultat de sauter en avant des étapes du k peut être trouvé comme : k ( de ^{du f de}

un b de k + de 2^{) = un d du c} + de 3

Les rangées du c et du d sont pré-calculées pour tout le possible k - de nombres de bits un , où le d est le résultat d'appliquer la fonction du f

les temps du k au b , et le c est le nombre de nombres impairs produits sur le chemin. Par exemple, si k=5, vous peut sauter en avant 5

étapes sur chaque itération en séparant dehors les 5 peu moins significatifs d'un nombre et l'utilisation : c de

= { d 0.242}

Fonction de Syracuse

Quelques propriétés de la fonction de Syracuse sont :
f (4 k + 1) = f ( k ) pour tout le k dans $I$.
Pour tout le ≥ 2 du p et h impair, p - 1 (2 h de ^{du f de p} de ^{- 1) = 2 p - 1} h de 3 ^{- 1 (voir le ici pour la notation).
Pour tout le impair h , f (2 h - 1) ≤ (3 h - 1)/2}