Conception de filtre

La conception de filtre de est le processus de concevoir un filtre (dans le sens dans lequel le terme est employé dans le traitement des signaux , les statistiques , et les mathématiques appliquées ), souvent un filtre décaler-invariable linéaire, qui satisfait un ensemble de conditions, certains dont être contradictoire. Le problème est de trouver une réalisation du filtre qui répond à chacun des besoins à un degré suffisant de le rendre utile.

Le processus de conception de filtre peut être décrit comme problème d'optimisation où chaque condition contribue avec une limite à une fonction erreur qui devrait être réduite au minimum. Certaines parties du processus de conception peuvent être automatisées, mais normalement un ingénieur électrique expérimenté est nécessaire pour obtenir un bon résultat.

Conditions de conception typiques

Les conditions typiques qui sont considérées dans le processus de conception sont
Le filtre devrait avoir une fonction de fréquence spécifique
Le filtre devrait avoir une réponse d'impulsion spécifique
Le filtre devrait être le causal
Le filtre devrait être stable
Le filtre devrait être localisé
La complexité informatique du filtre devrait être basse
Le filtre devrait être mis en application dans un matériel ou un logiciel particulier.

La fonction de fréquence

Les exemples typiques de la fonction de fréquence sont
Un filtre passe-bas est utilisé pour bloquer les signaux à haute fréquence non désirés.
Un filtre passe-haut passe des fréquences assez bonnes ; il est utile comme filtre de bloquer tous les composants de basse fréquence non désirés.
Un filtre passe-bande passe une gamme limitée des fréquences.
Un filtre coupe-bande passe des fréquences au-dessus ou au-dessous d'une certaine gamme. C'est le moindre filtre commun.
Un filtre de bas-étagère passe toutes les fréquences, mais amplifie ou coupe des fréquences au-dessous de la fréquence de coupure par quantité spécifique.
Un filtre de haut-étagère passe toutes les fréquences, mais amplifie ou coupe des fréquences au-dessus de la fréquence de coupure par quantité spécifique.
Un filtre de la crête EQ fait une crête ou une immersion dans la réponse en fr3quence, utilisée généralement dans les égaliseurs graphiques .
Un filtre passe-tout traverse toutes les fréquences sans changement, mais changements la phase du signal. C'est un filtre utilisé généralement dans des effets de phaser de .

Un paramètre important est la réponse en fr3quence required . En particulier, l'inclination et la complexité de la courbe de réponse est un facteur décisif pour l'ordre et la praticabilité de filtre.

Un filtre récursif du premier d'ordre aura seulement un composant lié à la fréquence simple. Ceci signifie que la pente de la réponse en fr3quence est limitée au DB de 6 par octave . Pour beaucoup de buts, ce n'est pas suffisant. Pour réaliser des pentes plus raides, des filtres évolués sont exigés.

Par rapport à la fonction de fréquence désirée, il peut également y a une fonction de accompagnement de la pondération de qui décrit, pour chaque fréquence, comme elle importante est que la fonction de fréquence en résultant rapproche désiré. Le poids plus grand, plus est une approximation étroite plus importante.

La réponse d'impulsion

Il y a une correspondance directe entre la fonction de fréquence du filtre et sa réponse d'impulsion, l'ancien est la transformée de Fourier de ce dernier. Ceci signifie que n'importe quelle condition sur la fonction de fréquence est une condition sur la réponse d'impulsion, et vice versa.

Cependant, dans certaines applications ce peut être la réponse d'impulsion du filtre qui est explicite et le processus de conception puis vise à produire aussi étroitement une approximation comme possible à la réponse d'impulsion demandée donnée toutes autres conditions.

Dans certains cas il peut même être approprié de considérer une fonction de fréquence et une réponse d'impulsion du filtre qui est choisi indépendamment entre eux. Par exemple, nous pouvons tous les deux vouloir une fonction de fréquence spécifique du de filtre et du que le filtre en résultant aient une petite largeur efficace dans le domaine de signal comme possible. Le dernier état peut être réalisé en considérant une fonction très étroite comme réponse d'impulsion voulue du filtre quoique cette fonction n'ait aucune relation à la fonction de fréquence désirée. Le but du processus de conception est alors de réaliser un filtre qui des essais pour atteindre ces deux buts de conception de contradiction autant que possible.

Causalité

Afin d'être implantable, n'importe quel filtre dépendant du temps doit être le causal : la réponse de filtre dépend seulement des entrées de courant et de passé. Une approche standard est de laisser cette condition jusqu'à l'étape finale. Si le filtre en résultant n'est pas causal, il peut être rendu causal en présentant un approprié temps-décalent (ou retard). Si le filtre est une partie d'un plus grand système (qui elle est normalement) ces types de retards doivent être présentés avec soin puisqu'ils affectent l'opération du système entier.

Stabilité

Un filtre stable s'assure que chaque signal d'entrée limité produit une réponse limitée de filtre. Un filtre qui ne répond pas à cette exigence peut dans quelques situations s'avérer inutile ou même nocif. Certaines approches de conception peuvent garantir la stabilité, par exemple en utilisant seulement des circuits de réaction tels qu'un filtre de SAPIN. D'une part, le filtre basé sur des circuits de rétroaction ont d'autres avantages et peuvent donc être preferred, même si cette classe des filtres incluent les filtres instables. Dans ce cas-ci, les filtres doivent être soigneusement conçus afin d'éviter l'instabilité.

Localité

Dans certaines applications nous devons traiter les signaux qui contiennent les composants qui peuvent être décrits en tant que phénomènes locaux, par exemple les impulsions ou les étapes, qui ont certaine durée de temps. Une conséquence d'appliquer un filtre à un signal est, en termes intuitifs, que la durée des phénomènes locaux est prolongée par la largeur du filtre. Ceci implique qu'il est parfois important de maintenir la largeur de la fonction de réponse de l'impulsion du filtre aussi courte comme possible.

Selon la relation d'incertitude de la transformée de Fourier, le produit de la largeur de la fonction de réponse de l'impulsion du filtre et de la largeur de sa fonction de fréquence doit dépasser une certaine constante. Ceci signifie que n'importe quelle condition sur la localité du filtre implique également une limite sur sa largeur de fonction de fréquence. En conséquence, il peut ne pas être possible de répondre simultanément à des exigences sur la localité de la fonction de réponse de l'impulsion du filtre aussi bien que sur sa fonction de fréquence. C'est un exemple typique de contredire des conditions.

Complexité informatique

Un désir général dans n'importe quelle conception est que le nombre d'opérations (des additions et des multiplications) requises pour calculer la réponse de filtre est aussi bas comme possible. Dans certaines applications, ce désir est une condition stricte, par exemple en raison des ressources informatiques limitées, des ressources de puissance limitées, ou du temps limité. La dernière limitation est typique dans des applications en temps réel.

Il y a plusieurs manières dont un filtre peut avoir la complexité informatique différente. Par exemple, l'ordre d'un filtre est plus ou moins proportionnel au nombre d'opérations. Ceci signifie qu'en choisissant un filtre d'ordre réduit, le temps de calcul peut être réduit.

Pour les filtres discrets la complexité informatique est plus ou moins proportionnelle au nombre de coefficients de filtre. Si le filtre a beaucoup de coefficients, par exemple dans le cas des signaux multidimensionnels tels que des données de tomographie, il peut être approprié de réduire le nombre de coefficients par l'élimination de ceux qui sont suffisamment de près de zéro.

L'autre sujet lié à la complexité informatique est séparabilité, c., si et comment un filtre peut être écrit la convolution des filtres deux ou plus simples. En particulier, cette issue est d'importance pour les filtres multidimensionnels, par exemple, le 2D filtre qui sont utilisés dans à traitement d'images. Dans ce cas-ci, une réduction significative de complexité informatique peut être obtenue si le filtre peut être séparé comme convolution d'un filtre 1D dans la direction horizontale et d'un filtre 1D dans la direction verticale. Un résultat du processus de conception de filtre peut, par exemple, être de rapprocher un certain filtre désiré comme filtre séparable ou comme somme de filtres séparables.

D'autres considérations

Il doit également décider comment le filtre va être mis en application :
Filtre analogue
Filtre prélevé analogue
Filtre de Digitals de
Filtre mécanique

Filtres analogues

La conception des filtres analogues linéaires pour la plupart est couverte dans la section linéaire du filtre .

Filtres de Digitals

Les filtres de Digitals de sont classifiés dans une de deux formes de base, selon la façon dont ils répondent à une impulsion d'unité de :
La réponse d'impulsion finie , ou le SAPIN , filtres de expriment chaque échantillon de rendement car une somme pesée des dernières entrées du N , où le N est l'ordre du filtre. Puisqu'ils n'emploient pas la rétroaction, ils sont en soi stables. Si les coefficients sont symétriques (le cas habituel), alors un tel filtre est la phase linéaire , ainsi il retarde des signaux de de toutes les fréquences également. C'est important dans beaucoup d'applications. Il est également franc pour éviter le débordement dans un filtre de SAPIN. L'inconvénient principal est qu'ils peuvent exiger significantly more traitant et ressources de la mémoire que des variantes abilement conçues d'IIR. Il est généralement plus facile concevoir des filtres de SAPIN que des filtres d'IIR - l'algorithme de l'échange de Remez de est une méthode appropriée pour concevoir les filtres tout à fait bons semi-automatiquement. (Voir la méthodologie .)
La réponse d'impulsion infinie , ou le IIR , filtres sont les contre-parties numériques aux filtres analogues. Un tel filtre contient l'état interne, et le rendement et le prochain état interne sont déterminés par une combinaison linéaire des entrées et des sorties précédentes (en d'autres termes, ils emploient la rétroaction , que les filtres de SAPIN ne font pas). Dans la théorie, la réponse d'impulsion d'un tel filtre ne s'éteint jamais complètement, par conséquent le nom IIR, bien que dans la pratique, ce ne soit pas vrai donné la résolution finie de l'arithmétique d'ordinateur. Les filtres d'IIR exigent normalement moins de calculant des ressources de qu'un filtre de SAPIN d'exécution semblable. Cependant, en raison de la rétroaction, les filtres d'ordre élevé d'IIR peuvent avoir des problèmes avec l'instabilité , le débordement arithmétique , et les cycles de limite et exiger de la conception soigneuse d'éviter de tels pièges. En plus, depuis le le déphasage est en soi une fonction non linéaire de la fréquence, le traversant à retard de temps un tel filtre est lié à la fréquence, qui peut être un problème dans beaucoup de situations. des filtres du deuxième ordre IIR s'appellent souvent les « biquads » et une exécution commune des filtres évolués est de cascader des biquads. Une référence utile pour des coefficients de calcul de biquad est le livre de cuisine audio de RBJ EQ.

Taux d'échantillon

À moins que le taux d'échantillon de soit fixé par une certaine contrainte extérieure, la sélection d'un taux approprié d'échantillon est une décision de conception importante. Un taux élevé exigera plus en termes de ressources informatiques, mais moins en termes de filtres d'anticrénelage. L'interférence et le battant avec d'autres signaux dans le système peuvent également être une issue.

Anticrénelage

Que n'importe quelle conception numérique de filtre, il est crucial d'analyser et éviter des effets du crénelage . Souvent, ceci est fait en ajoutant les filtres analogues de l'anticrénelage à l'entrée et au rendement, de ce fait évitant n'importe quel composant de fréquence au-dessus de la fréquence de Nyquist de ., inclination) de tels filtres dépend du rapport de signal-bruit required et du rapport au taux de prélèvement de la plus haute fréquence du signal.

Base théorique

Les parties du problème de conception rapportent au fait que certaines conditions sont décrites dans le domaine de fréquence tandis que d'autres sont exprimées en domaine de signal et que ceux-ci peuvent contredire. Par exemple, il n'est pas possible d'obtenir un filtre qui a une réponse d'impulsion arbitraire et la fonction de fréquence arbitraire. D'autres effets qui se rapportent à des relations entre le signal et le domaine de fréquence sont

le principe d'incertitude entre le signal et les domaines de fréquence
Le théorème de prolongation de désaccord
Le comportement asymptotique d'un domaine contre des discontinuités dans l'autre

Le principe d'incertitude

Comme indiqué dans le principe d'incertitude , le produit de la largeur de la fonction de fréquence et de la largeur de la réponse d'impulsion ne peut pas être plus petit qu'une constante spécifique. Ceci implique que si une fonction de fréquence spécifique est demandée, correspondant à une largeur spécifique de fréquence, la largeur minimum du filtre dans le domaine de signal est placée. Vice versa, si la largeur maximum de la réponse est indiquée, ceci détermine la plus petite possible largeur dans la fréquence. C'est un exemple typique de contredire des conditions où le processus de conception de filtre peut essayer de trouver un compromis utile.

Le théorème de prolongation de désaccord

Laisser le _ de $\ sigma^ {2} {s}$ soit le désaccord du signal d'entrée et laisser le _ de $\ sigma^ {2} {f}$ soit le désaccord du filtre. Le désaccord de la réponse de filtre, $\ _ de sigma^ {2} {r}$ , est alors donné près $de \ _ de sigma^ {2} {r}$ = _ de $\ sigma^ {2} {s}$ + _ de $\ sigma^ {2} {f}$

Ceci signifie que > de $\ sigma_ {r} \ sigma_ {f}$ et implique que la localisation de divers dispositifs tels que des impulsions ou d'étapes dans la réponse de filtre est limitée par la largeur de filtre dans le domaine de signal. Si une localisation précise est demandée, nous avons besoin d'un filtre de petite largeur dans le domaine de signal et, par l'intermédiaire du principe d'incertitude, sa largeur dans le domaine de fréquence ne peut pas être petite arbitraire.

Discontinuités contre le comportement asymptotique

Laisser le f (t) soit une fonction et laisser le $F (\ Omega)$ soit sa transformée de Fourier. Il y a un théorème qui déclare que si la première dérivée du F qui est discontinu a le $n d'ordre \ geq 0$ , alors le f a un affaiblissement asymptotique comme le $t^ {- n-1}$ .

Une conséquence de ce théorème est que la fonction de fréquence d'un filtre devrait être aussi lisse comme possible de permettre à sa réponse d'impulsion d'avoir un affaiblissement rapide, et de ce fait une largeur courte.

Méthodologie

Une méthode commune pour concevoir des filtres de SAPIN est l'algorithme d'échange de Remez de . Ici l'utilisateur spécifie une réponse en fr3quence désirée, une fonction de pondération pour des erreurs de cette réponse, et un N d'ordre de filtre. L'algorithme trouve alors l'ensemble de coefficients du N qui réduisent au minimum la déviation maximum de l'idéal. Intuitivement, ceci trouve le filtre qui est aussi étroitement que vous pouvez obtenir à la réponse désirée étant donné que vous pouvez employer seulement des coefficients du N . Cette méthode est particulièrement facile dans la pratique puisqu'au moins un texte inclut un programme qui prend le filtre et le désirés N et renvoie les coefficients optima. Un inconvénient possible aux filtres a conçu cette manière est qu'ils contiennent beaucoup de petites ondulations dans les bandes passantes, puisqu'un tel filtre réduit au minimum l'erreur maximale.

Une autre méthode à trouver un filtre discret de SAPIN est l'optimisation de filtre de décrite dans Knutsson et autres, qui réduit au minimum l'intégrale de la place de l'erreur, au lieu de sa valeur maximum. Sous sa forme de base cette approche exige qu'une fonction de fréquence idéale du $F_ de filtre {I} (\ Omega)$ est spécifiée ainsi qu'un $W de fonction de pondération de fréquence (\ Omega)$ et l'ensemble de $x_ de coordonnées {k}$ dans le domaine de signal où les coefficients de filtre sont localisés.

Un $\ varepsilon$ est défini As = de $\ varepsilon de \| W \ cdot (F_ {I} - \ mathcal {} de F \ {f \}) \|^ {2}$

là où $f (x)$ est le filtre discret et le $\ {F}$ mathcal est la transformée de Fourier de temps discret de définie sur l'ensemble spécifique de coordonnées. La norme utilisée ici est, formellement, la norme habituelle sur les espaces du $L^ {2}$ . Ceci signifie que le $\ varepsilon$ mesure la déviation entre la fonction de fréquence demandée du filtre, le $F_ {I}$ , et la fonction de fréquence réelle du filtre réalisé, $\ mathcal {} de F \ {f \}$ . Cependant, la déviation est sujette également à la fonction de pondération $W$ avant que la fonction erreur soit calculée.

Une fois que la fonction erreur est établie, le filtre optimal est donné par le $f de coefficients (x)$ qui réduisent au minimum le $\ varepsilon$ . Ceci peut être fait en résolvant le problème des moindres carrés correspondant. Dans la pratique, la norme du $L^ {2}$ doit être rapprochée au moyen d'une somme appropriée au-dessus des points discrets dans le domaine de fréquence. Généralement cependant, ces points devraient être significantly more que le nombre de coefficients dans le domaine de signal pour obtenir une approximation utile.

Optimisation simultanée dans les deux domaines

La méthode précédente peut être prolongée pour inclure une limite additionnelle d'erreur liée à une réponse d'impulsion désirée de filtre dans le domaine de signal, avec une fonction de pondération correspondante. La réponse d'impulsion idéale peut être choisie indépendamment de la fonction de fréquence idéale et est dans la pratique employée pour limiter la largeur efficace et pour enlever des effets de sonnerie du filtre en résultant dans le domaine de signal. Ceci est fait en choisissant une fonction de réponse idéale étroite d'impulsion de filtre, par exemple, une impulsion, et une fonction de pondération qui se développe rapide avec la distance de l'origine, par exemple, la distance carrée. Le filtre optimal peut encore être calculé en résolvant un problème des moindres carrés simple et le filtre en résultant est alors un " ; compromise" ; ce qui a un ajustement optimal total aux fonctions idéales dans les deux domaines. Un paramètre important est la force relative des deux fonctions de pondération qui détermine dans quel domaine il est plus important d'avoir un bon ajustement relativement à la fonction idéale.

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