Comodule

Dans les mathématiques , un comodule est un duel de concept à un module . La définition d'un comodule au-dessus d'un Coalgebra est constituée par dualizing la définition d'un module au-dessus d'une algèbre associative .

Définition formelle

Laisser le K être un champ , et le C soit un Coalgebra au-dessus du K . Le bon) comodule d'A (au-dessus du C est un K - le de l'espace de vecteur M ainsi qu'une carte linéaire $\ rho de : M \ à M \ à otimes C$

tels que $(identification \ otimes \) de delta \ circ \ rho = (\ identification de rho \ otimes) \$

du circ \ rho

(identification \ otimes \) d'epsilon \ circ \ rho = id

, là où &Delta ; est le comultiplication pour le C , et le &epsilon ; est le counit.

Noter que dans la deuxième règle que nous avons identifié le $M \ otimes K$ avec le $M \,$ .

Exemples

Le coalgebra du

A est un comodule au-dessus de lui-même.

si le M est un module fini-dimensionnel au-dessus d'un fini-dimensionnel K - le A d'algèbre, alors l'ensemble des fonctions linéaires du A au K forme un coalgebra, et l'ensemble de fonctions linéaires du M au K forme un comodule au-dessus de ce coalgebra.
Le évalué par V de l'espace de vecteur du

A peut être transformé en comodule. Laisser le I être l'ensemble d'index pour l'espace de vecteur évalué, et laisser $C_I$ être l'espace de vecteur avec la base $e_i$ pour le $i \ dans I$ . Nous transformons $C_I$ en coalgebra et V dans un $C_I$ -comodule, comme suit : # a laissé le comultiplication sur $C_I$ être donné par le $\ delta (e_i) = e_i \ otimes e_i$ . Le
# a laissé le counit sur $C_I$ être donné par le $(e_i) = 1 \$ . Le
# a laissé le $\ rho$ sur le V être donné par le $\ rho (v) = \ v_i de somme \ otimes e_i$ , où $v_i$ est le i - morceau homogène de Th de $v$ .

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