Commande optimale

La théorie de commande optimale de , une généralisation du calcul de des variations , est une méthode mathématique de l'optimisation pour dériver des politiques de commande. La méthode est en grande partie due au travail du Lev Pontryagin et ses collaborateurs, récapitulé en anglais en Pontryagin (1962).

Méthode générale

La commande optimale traite le problème de trouver une loi de commande pour un système donné tels qu'un certain critère d'optimalité est réalisé. Un problème de commande inclut un coûté fonctionnel qui est une fonction des variables d'état et de commande. Une commande optimale est un ensemble d'équations décrivant les chemins des variables de commande qui réduisent au minimum le coût fonctionnel. La commande optimale peut être dérivée using le principe de maximum (une condition nécessaire de Pontryagin de de ), ou en résolvant l'équation (un état suffisant de Hamilton-Jacobi-Crieur public de de ).

Nous commençons par un exemple simple. Considérer une voiture voyageant sur une ligne droite par une route accidentée. Est-ce que question, comment le conducteur est devrait presser le de pédale d'accélérateur réduisent-ils au minimum tout le temps de déplacement ? Clairement dans cet exemple, la loi de commande de limite se réfère spécifiquement à la manière de laquelle le conducteur presse l'accélérateur et décale les vitesses. Le " ; system" ; se compose de la voiture et de la route, et le critère d'optimalité est la minimisation de tout le temps de déplacement. Les problèmes de commande incluent habituellement les contraintes auxiliaires par exemple que la quantité de carburant disponible pourrait être limitée, la pédale d'accélérateur ne peuvent pas être poussés par le plancher de la voiture, des limitations de vitesse, etc.

Un coût approprié fonctionnel est une expression mathématique donnant le temps de déplacement en fonction de la vitesse, des considérations géométriques, et des conditions initiaux du système. C'est souvent le cas que les contraintes sont interchangeables avec le coût fonctionnel.

Un autre problème de commande optimale est de trouver la manière de conduire la voiture afin de réduire au minimum sa consommation de carburant, étant donné qu'il doit accomplir un cours donné d'un moment ne dépassant pas une certaine quantité. Encore un autre problème de commande est de réduire au minimum tout le coût monétaire d'accomplir le voyage, donné des prix monétaires assumés pendant le temps et le carburant.

Un cadre plus abstrait va comme suit. Donné un le système dynamique avec le $u\; variable\; dans\; le\; temps\; de\; d\text{'}entrée\; (t)$ , variable dans le temps de rendement $y\; (t)$ et $x\; variable\; dans\; le\; temps\; de\; d\text{'}état\; (t)$ , définissent un coût fonctionnel pour être réduits au minimum. Le coût fonctionnel est la somme des coûts de chemin, qui prennent habituellement la forme d'une intégrale avec le temps, et des coûts terminaux, qui est une fonction seulement (c.,) de l'état final terminal, le $x\; (T)$. Ainsi, ce coût fonctionnel prend typiquement la forme $J=\; \backslash \; phi\; de$

+ (de x (T)) \ int_0^T L (x, u, t) \, \ mathrm {d} t.

là où $T$ est le terminal chronométrer du système. Il est commun, mais non required, pour avoir (c., commençant) la période initiale du système être 0 comme montré. La minimisation d'un fonctionnel de cette nature est liée à la minimisation de l'action dans la mécanique lagrangienne , dans ce cas $L\; (x,\; u,\; t)$ s'appelle le lagrangien.

Commande d'équation quadratique linéaire

Il est très commun, en concevant les systèmes de contrôle appropriés, à la réalité modèle comme système linéaire , comme $de$

\ point {x} (t)=A X (t) + B u (t)

$y\; (t)\; =\; C\; X\; (t)\; \backslash .$

Un fonctionnel commun de coût utilisé ainsi que cette description de système est

$J=\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; (x^T\; (t)\; Qx\; (t)\; +\; u^T\; (t)\; RU\; (t))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t$

là où le Q des matrices et le R sont positif-semi-définis et positif-définis, respectivement. Noter que ce coût fonctionnel est pensé en termes de pénalisant l'énergie de commande (mesurée comme une forme quadratique) et le temps où elle prend le système pour atteindre le zéro-état.

Ce fonctionnel pourrait sembler plutôt inutile puisqu'il suppose que l'opérateur conduit le système au zéro-état, et par conséquent conduisant le rendement du système à zéro. C'est en effet correct. Cependant le problème de conduire le rendement au niveau désiré peut être résolu après que le rendement nul un soit. En fait, il peut montrer que ce problème secondaire peut être résolu d'une façon très franche. Le problème de commande optimale défini avec le fonctionnel précédent s'appelle habituellement le problème de régulateur d'état et la sa solution le le régulateur quadratique linéaire ( LQR ) qui n'est pas plus qu'un gain de matrice de rétroaction de la forme $u\; de$

(t)=-K (t) \ cdot X (t)

là où K est une matrice et une solution correctement dimensionnées du continu chronomètrent l'équation dynamique de Riccati de . Ce problème a été d'une manière élégante résolu par le Rudolf Kalman (1960).

Commande de temps discret

Les exemples jusqu'ici ont montré à les systèmes continus du temps et les solutions témoin. En fait, car les solutions témoin optimales sont souvent mis en application maintenant Digital la théorie de commande contemporaine de est maintenant principalement concernée par des systèmes et des solutions du temps discret .

Voir également

Programmation dynamique
Équation de crieur public de
régulateur Linéaire-quadratique
Optimisation de trajectoire de

Matières relatives

jeux de la Poursuite-évasion

Ouvrages de référence

Rudolf Kalman , 1960.
Pontryagin , 1962 de L. la théorie mathématique des processus optimaux . Commande optimale appliquée de : Optimisation, évaluation, et commande . Théorie de commande optimale de : Une introduction . le calcul des variations et de l'analyse fonctionnelle par rapport à la commande optimale et applications en mécanique . Particulièrement chpt. Commande optimale , 2ème ed de . Commande optimale et évaluation de . Théorie de commande optimale de : Applications à la science de la gestion et aux sciences économiques , 2ème ed. Springer (ISBN 0-7923-8608-6)
Sontag, théorie de commande mathématique de d'Eduardo D. : Systèmes dimensionnels finis déterministes. (ISBN 0-387-984895) (en ligne libre disponible)
Brogan, William L. Théorie de commande moderne de . ISBN 0135897637

Journaux

Applications et méthodes de commande optimale de . John Wiley et Sons, Inc.
Journal du SIAM de commande et d'optimisation.

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