Cohomology

Dans les mathématiques , spécifiquement dans la topologie algébrique , le cohomology est une limite générale pour un ordre des groupes abéliens définie d'un Cochain complexe. C'est-à-dire, le cohomology est défini comme l'étude abstraite des cochains , du Cocycles et des coboundaries . Cohomology peut être regardé comme méthode d'assigner à les invariants algébriques que à un espace topologique qui a une structure algébrique plus de raffinage que fait l'homologie . Cohomology résulte de la dualisation algébrique de la construction de l'homologie. Dans la langue moins abstraite, les cochains dans le sens fondamental devraient assigner des « quantités » aux chaînes la théorie d'homologie.

De son commencement dans la topologie , cette idée est devenue une méthode dominante dans les mathématiques de la deuxième moitié du 20ème siècle ; de l'idée initiale de l'homologie de comme relation topologiquement invariable sur le enchaîne , l'étendue des applications des théories d'homologie et de cohomology a étendu au-dessus de la géométrie et de l'algèbre abstraite . La terminologie tend à masquer le fait qui dans le cohomology beaucoup d'applications, une théorie de Contravariant , est plus normale que l'homologie de . À un niveau de base ceci doit faire avec les fonctions et les retraits dans des situations géométriques : donné X des espaces et Y , et un certain genre de de fonction F sur le Y , pour tout traçant le f de : La composition en Y de → du X avec le f provoque un du F o de fonction f sur le X . Les groupes de Cohomology ont souvent également un produit naturel, le produit de tasse , qui leur donne une structure de l'anneau .

Avec la rétrospection, la théorie générale d'homologie de devrait avoir été donnée probablement une signification incluse couvrant l'homologie de et le cohomology de : la direction des flèches dans une chaîne complexe de n'est pas beaucoup plus qu'une convention de signe de .

Histoire

Bien que le cohomology soit fondamental à la topologie algébrique moderne, son importance n'a pas été vue pendant environ 40 années après le développement de l'homologie. Le concept du la structure cellulaire que duelle , que le Henri Poincaré a employée dans sa preuve de son théorème de la dualité de Poincaré de , a contenu le germe de l'idée du cohomology, mais ceci n'a pas été vu jusqu'à plus tard.

Il y avait de divers précurseurs au cohomology. Dans les années 20 mid- , le J. Alexandre et le Solomon Lefschetz ont fondé la théorie d'intersection de de cycles sur des tubulures de que sur un n - le divers dimensionnel M , un p du - font un cycle et un q - le cycle avec l'intersection non vide, si en position générale , avoir l'intersection a ( p+q&minus ; n ) - cycle. Ceci nous permet de définir une multiplication des cours d'homologie × du p ( M ) de du H de

; &rarr du q ( M ) de du H ; p+q-n ( M ) de du H .

Alexandre a eu par 1930 définis une première notion de cochain, basée sur un p - cochain sur un X de l'espace ayant la pertinence avec les petits voisinages du diagonal dans le p +1 de du X .

Dans le 1931 , le Georges de Rham a rapporté l'homologie et les formes extérieures de différentiel de prouvant le théorème de De Rham's de . On comprend que maintenant ce résultat plus naturellement est interprété en termes de cohomology.

Dans le 1934 , le Lev Pontryagin a prouvé le théorème de la dualité de Pontryagin de ; un résultat sur les groupes topologiques ceci (dans des cas plutôt spéciaux) a fourni une interprétation de la dualité de Poincaré de et de la dualité d'Alexandre de en termes de caractères du groupe

À une conférence du 1935 dans le Moscou , le Andrey Kolmogorov et le cohomology présenté d'Alexandre et essayé de construire une structure de produit de cohomology.

Dans le Steenrod normand du 1936 a édité un document construisant le cohomology de Čech de par dualizing l'homologie de Čech de .

De 1936 au 1938 , le Hassler Whitney et le Eduard Čech ont développé le produit de tasse (transformant le cohomology en anneau évalué) et le produit de chapeau , et se sont rendus compte que la dualité de Poincaré peut être énoncée en termes de produit de chapeau. Leur théorie était encore limitée aux complexes finis de cellules du .

Dans le 1944 , le Samuel Eilenberg a surmonté les limitations techniques, et a donné la définition moderne de l'homologie singulière et du cohomology.

Dans le 1945 , Eilenberg et Steenrod ont énoncé les axiomes définissant une théorie d'homologie ou de cohomology. Dans leur livre du 1952 , des bases de de la topologie algébrique , ils ont montré que les théories existantes d'homologie et de cohomology ont en effet satisfait leurs axiomes.

Dans le Edwin Spanier du 1948 , construisant sur le travail d'Alexandre et de Kolmogorov, a développé le cohomology d'Alexandre-Spanier de .

Théories de Cohomology

Théories d'Eilenberg-Steenrod

Une théorie de cohomology de est une famille du contravariant Functors de la catégorie des paires des espaces topologiques et des fonctions continues (ou d'une certaine sous-catégorie en comme la catégorie de complexes d'onde entretenue de à la catégorie de groupes abéliens et de Homomorphisms de groupe qui satisfait les axiomes d'Eilenberg-Steenrod de .

Quelques théories de cohomology dans ce sens sont : cohomology singulier de gerbe de de

  • du cohomology
    • de Čech de de
  • du cohomology
    • de De Rham de de
  • du cohomology
    • de de
  • du cohomology
    • de Simplicial de

    Théories extraordinaires de cohomology

    Quand un axiome (axiome de dimension de ) est relaxed, on obtient l'idée de la théorie extraordinaire de cohomology de ; ceci permet des théories basées sur la K-théorie et la théorie de Cobordism de . Il y a d'autres, venant de la théorie homotopy stable .

    D'autres théories de cohomology

    Les théories dans un plus large sens du cohomology de incluent : cohomology plat de Deligne de de

  • du cohomology
    • de Motivic de de
  • du cohomology
    • du cohomology de de
  • du cohomology
    • de Hochschild de de
  • du cohomology
    • d'André-Quillen de de
  • du cohomology
    • de Schur de de
  • du cohomology
    • du Γ de
  • du cohomology
    • de Harrison de de
  • du cohomology
    • d'algèbre de Lie de de
  • du cohomology
    • de Galois de de
  • du cohomology
    • de groupe de
  • de d'André-Quillen du cohomology
    • de
  • de de Hochschild du cohomology
    • de
  • de du cohomology
    • de
  • de du cohomology
    • de
  • de du cohomology
    • de
  • de d'Étale du cohomology
    • de
  • de du cohomology
    • de cristallin local logique cyclique topologique topologique topologique cyclique de
  • cohomology Non-abélien
    • de Quantum de de
  • du cohomology
    • de Bonar-Claven de de
  • du cohomology
    • de Spencer de de
  • du cohomology
    • de Gel'fand-Fuks de de
  • du cohomology
    • du cohomology de de
  • de
  • de d'intersection du cohomology
    • de pervers de

  • .

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