Codomain

Dans les mathématiques , le codomain d'un $f$ de la fonction : le $Y$ de → du $X$ est le $Y$ d'ensemble.

Le domaine de du $f$ est le $X$ d'ensemble.

La gamme de du $f$ est le $f d'ensemble (X)$ défini comme { $f (x)$ : $X$ de ∈ du $x$ }. Il découle de ces définitions que la gamme du $f$ est toujours un sous-ensemble du codomain du $f$ .

Exemples

Comme exemple, laisser le $f$ fonction être une fonction sur les vrais nombres

$\ mathbb {} de R \ rightarrow \ mathbb {R}$

défini près $f \ deux points de \, x \ mapsto x^2.$

Le codomain du $f$ est $\ mathbb {R}$ , mais clairement le f ne trace à aucun nombre négatif. Ainsi la gamme du f est l'ensemble $\ mathbb {R} ^+_0$ , c., le de l'intervalle où :

$0 \ leq f (x)< \ infty.$

Nous pouvons définir ainsi un alternatif $g$ de fonction :

$\, x \ mapsto x^2.$

Tandis que le $f$ et le $g$ tracent un donné X au même nombre, ils ne sont pas, dans la vue moderne, la même fonction parce qu'ils ont différents codomains. Pour voir pourquoi, supposer que nous définissons un troisième h de fonction : $h \ deux points de \, x \ mapsto \ racine carrée x.$

Nous devons définir le domaine du h pour être $\ mathbb {R} ^+_0$ : $h \ deux points \ mathbb de {R} ^+_0 \ rightarrow \ mathbb {R}$ .

Nous laisser maintenant définissent les compositions en $h de \ circ f$ , $h \ circ g$ .

Pendant qu'il s'avère, le $h \ circ f$ ne semble pas raisonnable. Supposer (comme nous devons, à moins que nous énoncions explicitement autrement) que nous ne savons pas ce qu'est la gamme du $f$ ; nous savons seulement que ce peut être $\ mathbb {R}$ . Mais d'autre part nous avons des ennuis parce que la racine carrée n'est pas définie pour des nombres négatifs. Maintenant nous avons une contradiction possible parce que le h de fonction, une fois composé sur le f de fonction, pourrait recevoir un argument qui il " ; ne peut pas handle." ;

Cet unclarity devrait être évité dans le travail formel. La composition en fonction exige donc par définition que le codomain la fonction du côté droit de composition (non sa gamme de , qui est une conséquence de la fonction et serait indéterminée au niveau de composition) doit être identique que le domaine de la fonction de l'aile gauche.

Le codomain peut affecter si une fonction est un Surjection . Dans notre exemple, le $g$ est un surjection alors que le $f$ n'est pas. Le codomain n'affecte pas si une fonction est une injection .

Un deuxième exemple de la différence entre le codomain et la gamme peut être vu en considérant la matrice d'une transformation linéaire. Par convention, le domaine d'une transformation linéaire liée à une matrice est le n de ^{du R et son codomain est le m} de ^{du R , où la matrice est $m \ périodes n$ (a des rangées du $m$ et des colonnes du $n$ ). Mais la gamme (l'ensemble de nombres a obtenu quand la matrice est droit-multiplié par par chaque vecteur de colonne de du $n$ de longueur) pourrait être beaucoup plus petite. Par exemple, si la matrice contient seulement $0$ s, alors n'importe comment grand elle est, la gamme est juste le ''' du ''' 0 de de vecteur. Mais la dimension du vecteur en résultant est le $m$ . C'est important, parce qu'il est assez pour changer juste un nombre dans la matrice pour rendre sa gamme différente de zéro.}

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