Code linéaire

Dans les mathématiques et la théorie de l'information de , un code linéaire est un type important de code de bloc utilisé dans le des arrangements de correction d'erreurs et de la détection . Les codes linéaires tiennent compte d'un codage plus efficace et des algorithmes de décodage que d'autres codes (cf. syndrome de décodant ).

Des codes linéaires sont appliqués dans les méthodes de transmettre les symboles (par exemple, peu sur une voie de transmissions de sorte que, si les erreurs se produisent dans la communication, quelques erreurs puissent être détectées par le destinataire d'un bloc de message. Le " ; codes" ; dans le code linéaire il y a les blocs de symboles qui sont codés using plus de symboles que la valeur originale à envoyer. Un code linéaire du n de longueur transmet des blocs contenant des symboles du n . Par exemple, le " ; " (de 7.4) ; Le code de Hamming est un code linéaire binaire qui représente 4 valeurs chacune de bit using 7 valeurs de bit. De cette façon, le destinataire peut détecter des erreurs aussi graves que 2 bits par bloc. Car il y a seize (16) 4 valeurs distinctes de bit exprimées en binaire, la taille de (des 7.4) codes de Hamming est seize.

Définition formelle

Un code linéaire du n de longueur et du luxuriant k est un linéaire du sous-espace C avec le k de la dimension du $del\text{'}espace\; de\; vecteur\backslash \; du\; mathbb\; \{F\}\; \_q^n$ où le $\backslash \; mathbb\; \{F\}\; \_q$ est le champ fini avec des éléments du q . Un tel code avec le q de paramètre s'appelle un q - code ary (par exemple, quand   de q ; =  ; 5, le code est un code 5 ary). Si   du q ; =  ; 2 ou   du q ; =  ; 3, le code est décrits comme code binaire , ou code ternaire .

Propriétés

Comme sous-espace linéaire du $\backslash \; du\; mathbb\; \{F\}\; \_q^n$, le entier C (qui de code peut être très grand) peut être représenté comme envergure d'un ensemble minimal de codewords (connus sous le nom de base dans algèbre linéaire ). Ces codewords de base sont souvent assemblés dans les rangées d'une matrice connue sous le nom de produisant de la matrice pour le C de code.

La définition de sous-espace garantit également que le minimum de la distance de Hamming de d entre n'importe quel donné c ₀ et les autres codewords de codeword   du c ; &ne ;   ; le c ₀ est constant. Depuis le   du c de différence ; &minus ;   ; le c ₀ de deux codewords dans le C est également un codeword (c., un élément du C de sous-espace), et le d ( c ,   ;   de c₀) ; =  ; d (  de c ; &minus ;   ; c ₀,   ; 0), nous voyons cela $de$

\ min_ {c \ dans, de C \ c \ quantité nette de substance explosive c_0} d (c, c_0) = \ = du min_ {c \ dans C, c \ quantité nette de substance explosive c_0} d (c-c_0, 0) \ min_ {c \ dans C, c \ quantité nette de substance explosive 0} d (c, 0).

Notation populaire

Les codes en général sont souvent dénotés par le C de lettre. Un code linéaire du n de longueur, du k du grade (c., ayant des mots de code de k dans ses rangées de base et de k dans son produisant de matrice ), et du minimum d de poids de Hamming désigné sous le nom de l'( n ,   ; k ,   ; code du d ). ceci ( n ,   ; k ,   ; la notation du d ) ne devrait pas être confondue avec la notation employée pour dénoter un code non linéaire du du n de longueur, du r de taille (c., ayant des mots de code de r ), et du minimum d de distance de Hamming.

Exemples

Quelques exemples des codes linéaires incluent : style=" de

Utilisations

Les codes linéaires binaires (se référer à la définition formelle ci-dessus) sont omniprésents dans les appareils électroniques et les médias de mémoire numérique. Par exemple le code de Roseau-Solomon de est employé pour stocker des données numériques sur un disque compact .