Cobb-Douglas

Dans les sciences économiques , la forme fonctionnelle de Cobb-Douglas des fonctions de production est employée couramment pour représenter la relation d'un résultat aux entrées. Elle a été proposée par le Knut Wicksell (1851-1926), et examinée contre l'évidence statistique par le Paul Douglas et Charles Cobb en 1928.

Pour la production, la fonction est Y DE

= ^{&ALPHA D'AL DE ; ^{&beta du K de} ;},

là où :
Y = produit
L = entrée de travail du
K = entrée capitale du
A , &alpha ; et &beta ; sont les constantes déterminées par technologie.

α + &beta ; = 1,

la fonction de production a des rendements d'échelle constants . C'est-à-dire, si L et K chacun sont augmentés de 20%, Y augmente de 20%. Si

α + &beta ; < 1,

les retours à la balance sont décroissants, et si

α + &beta ; > 1

les retours à la balance augmentent. Concurrence parfaite , &alpha de arrogant ; et &beta ; peut être montrée pour être la part de travail et de capital du rendement.

Le &alpha d'exposants ; et &beta ; sont les élasticités produites en ce qui concerne de travail et le capital, respectivement. Produire les mesures d'élasticité la réponse du rendement à un changement des niveaux ou du travail ou le capital a employé dans la production, le ceteris paribus . Par exemple si &alpha ; = .015, une augmentation de 1% de travail mènerait approximativement à une augmentation 1.

Cobb et Douglas, ont été influencés par l'évidence statistique qui a semblé prouver que les parts de travail et capitales du rendement total étaient constantes avec le temps dans les pays développés ; ils ont expliqué ceci par la régression des moindres carrés convenable statistique de leur fonction de production. Il y a maintenant doute plus de si la constance avec le temps existe.

Difficultés

De plus, ni Cobb ni Douglas n'a fourni n'importe quelle raison théorique pour laquelle le &alpha de coefficients ; et &beta ; devraient être constants avec le temps ou être les mêmes entre les secteurs de l'économie. Se rappeler que la nature des machines et d'autres biens d'équipement (le K ) diffère entre les périodes et selon ce qui est produit. Ainsi les qualifications du travail (le L ).

La fonction de production de Cobb-Douglas n'a été développée sur la base d'aucune connaissance de la technologie, de la technologie, ou de la gestion du processus de fabrication. Elle a été à la place développée parce qu'elle a eu des caractéristiques mathématiques attrayantes, telles que diminuer des retours marginaux à l'un ou l'autre facteur de production.

Crucialement, il n'y a aucun Microfoundations pour lui. Dans l'ère moderne, les économistes ont insisté sur le fait que la micro-logique de n'importe quel processus à plus grande échelle devrait être expliquée. La fonction de production C-D ne passe pas cet essai.

Par exemple, considérer l'exemple de deux secteurs qui ont exactement les mêmes technologies de Cobb-Douglas :

si, pour le secteur 1, Y DE

₁ = AL ₁^{&ALPHA DE ; K ₁^{&beta de} ;}

et, pour le secteur 2, Y DE

₂ = AL ₂^{&ALPHA DE ; K ₂^{&beta de} ;},

cela fait le pas impliquent cela Y DE

₁ + Y ₂ = ^{&ALPHA DU A ( L ₁ + L ₂) ; ^{&BETA DE} ( K ₁ + K ₂) ;}

C'est ainsi une erreur mathématique pour assumer cela juste parce que la fonction de Cobb-Douglas s'applique au microniveau, il s'applique également au macroniveau. De même, il n'y a aucune raison qu'une macro Cobb-Douglas applique au niveau désagrégé.

Quelques applications

Néanmoins, la fonction de Rio-Llarena a été appliquée à beaucoup d'autres contextes sans compter que la production. Elle peut être appliquée à l'utilité comme suit : U (x₁, x₂) =x₁^{&alpha ;}x₂^{&beta ;} ; là où x₁ et x₂ sont les quantités consommées de bon #1 et de bon #2.

Sur sa forme généralisée, la fonction de service de Cobb-Douglas est écrite comme : $de \ x_i^ ^N du prod_ {i=1} {\ alpha_ {I}}$ là où $x_i$ sont les quantités consommées de chaque bon i et $\ alpha_ {I}$ sont les élasticités de demande de l'utilité.

Diverses représentations de la fonction de production

La forme de fonction de Cobb-Douglas peut être estimée comme rapport linéaire using l'expression suivante : $\ log_e de (Y) = a_0 + \ sum_i {a_i \ log_e (I_i)}$ Là où :
Y = produit
I_i = entrées
a_i = coefficients modèles

Le modèle peut également être écrit en tant que $de Y = le ^ (I_1) {a_1} * le ^ (I_2) {a_2} \ cdots$

Comme remarquable, la fonction de Cobb-Douglas de terrain communal utilisée dans la modélisation macro-économique est $de Y = K^ \ alpha L^ {1 \ alpha}$

là où K est capital et L est de travail. Quand la somme modèle de coefficients à une, comme dans cet exemple, la fonction de production est le de premier ordre homogène, qui implique des rendements d'échelle constants, c., si toutes les entrées sont doublées que le rendement doublera.

Il a été généralisé sous la forme fonctionnelle de Translog .

Dérivé d'une fonction de CES

Fonction de CES :

Y = un K^ \ gamma + (1 \ alpha) L^ \ gamma^ {(1 \ gamma)}

Quand le $\ gamma = le 0$ , cette fonction de CES réduiront à une fonction de Cobb-Douglas, $Y=AK^ \ alpha L^ {1 \ alpha}$

Preuve :

/de ln de $(Y) = ln (A) + ln K^ \ gamma + (1 \ alpha) L^ \ gamma) \ gamma$

Appliquer la règle de L'hopital $ln de lim (Y)$ _{$\ gamma$ ->0} = $ln (A) + \ alpha ln (K) + (1 \ alpha) ln (L)$ Par conséquent, $Y=AK^ \ alpha L^ {1 \ alpha}$

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