Classificateur de Subobject

Dans la théorie de catégorie de , un classificateur de subobject de est un &Omega spécial d'objet ; d'une catégorie ; intuitivement, le Subobjects d'un X d'objet correspondent aux morphisms du X au &Omega ;. Pendant que le nom suggère, quel classificateur de subobject de fait est identifier/classifie des subobjects d'un objet donné selon lequel les éléments appartiennent au subobject en question. En raison de ce rôle, le classificateur de subobject désigné également sous le nom de l'objet de valeur de vérité de . En fait la manière dont le classificateur de subobject de classifie des subobjects d'un objet donné, est en assignant les valeurs vraies à éléments appartenant au subobject en question, et faux aux éléments n'appartenant pas au subobject. C'est manière que le classificateur de subobject de est employé couramment dans la description catégorique de la logique.

Exemple d'introduction

Comme exemple, le &Omega d'ensemble ; = {0.1} est un classificateur de subobject dans la catégorie de des ensembles et des fonctions : à chaque j de sous-ensemble : &rarr du U ; Le X nous pouvons assigner le &chi de de fonction ; _j du X au &Omega ; cela trace avec précision les éléments du U à 1 (voir la fonction caractéristique ). Chaque fonction du X au &Omega ; résulte de cette fa4con de avec précision un U de sous-ensemble.

Pour rendons cet exemple plus clair considèrent un A du sous-ensemble du S ( S de ⊆ de A ), où le S est un ensemble. La notion d'être un sous-ensemble peut être exprimée mathématiquement using la soi-disant fonction caractéristique : A → {0.1} de χ_{, qui est défini comme suit : $\ chi_A de (x) = \ commencer {les cas} 0, et \ mbox {si} x \ \ du notin A \ 1, et \ mbox {si} x \ dans A \ extrémité {cas}$}

(Ici nous interprétons 1 aussi vrai et 0 que faux.) Le rôle de la fonction caractéristique est de déterminer quels éléments appartiennent ou pas à un certain sous-ensemble. Puisque dans n'importe quelle catégorie des subobjects sont identifiés comme flèches monic , nous identifions la valeur vraie avec la flèche : vrai : {0} &rarr ; {0, 1} qui trace 0 à 1. Donné cette définition la peut être facilement vu que le A de sous-ensemble peut être uniquement défini par le de =χ_{du A de fonction caractéristique A}^-1(1). Par conséquent le diagramme est un retrait .

L'exemple ci-dessus du classificateur de subobject dans le réglé est très utile parce qu'il nous permet de prouver facilement l'axiome suivant :

Axiome : Donné un C de catégorie, là existe alors un isomorphisme , le
y de de
: C de ∈ du X de ∀ du C (X, Ω) de Hom_{de ≅ du C} ( X ) de Sub

Dans le réglé cet axiome peut être redit comme suit :

Axiome : La collection de tous les sous-ensembles de S dénotés par le $\ {P} (S)$ mathcal, et la collection de toutes les cartes de S à l'ensemble {0, 1} =2 dénoté par 2^{le S} sont le isomorphe c. le $de fonction y:\mathcal {P} (s) \ rightarrow2^S$ , ce qui en termes d'éléments simples de $\ {P} de (S)$ mathcal est &rarr du A ; &chi ; le A de _{, est un Bijection .}

L'axiome ci-dessus implique la définition alternative d'un classificateur de subobject :

Définition : Ω est un classificateur IFF de subobject de il y a une une à une correspondance entre le subobject du X et le Morphisms du X à Ω.

Définition

Pour la définition générale, nous commençons par un C de catégorie qui a un objet terminal , que nous dénotons par 1. Le &Omega d'objet ; du C est un classificateur de subobject pour le C si là existe un morphism &rarr du

1 de ; &Omega ;

avec la propriété suivante :

pour chaque j du monomorphisme : &rarr du U ; Le X il y a un &chi unique de de morphism ; _j : &Omega de → du X ; tels que le diagramme commutatif de suivant le est un &mdash du diagramme de retrait de ; c'est-à-dire, le U est la limite du diagramme :

Le &chi de de morphism ; le _j s'appelle alors le classifiant le morphism pour le subobject représenté par le j .

D'autres exemples

Chaque Topos a un classificateur de subobject. Pour les topos des gerbes d'ensembles sur un X , il de l'espace topologique peut être décrit en ces termes : prendre le disjoignent le &Omega des syndicats ; de tout le ouvert U des ensembles du X , et de son &pi de cartographie normal ; au X venant de toute l'inclusion de trace le &pi de puis ; est une homéomorphie locale , et la gerbe correspondante est le classificateur required de subobject (en d'autres termes la construction du &Omega ; est au moyen de son étalé d'Espace de ). On peut également considérer le &Omega ; pour être, dans le sens (tautologique) d'a, le graphique de la relation d'adhésion entre le X de points et ouvrir le U d'ensembles du X . Pour une petite catégorie $C$ , le classifer de subobject de dans les topos de du $des presheaves \ du ^ {S} mathcal {C^ {op}}$ est donné comme suit. Pour tout $c \ dans C$ , $\ Omega (c)$ est l'ensemble de passoirs sur $c$ .

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