Classe de Pontryagin

Dans les mathématiques , les classes de Pontryagin de sont sûres que les classes de caractéristique de la classe de Pontryagin se situe dans les groupes de Cohomology de avec l'index un multiple de quatre. Il s'applique aux vrais paquets de vecteur de

Définition

Donné un de paquet de vecteur E au-dessus du M , de son k - Th Pontryagin classe

p_k (E)

est défini en tant que

p_k de (E)=p_k (, d'E \ mathbb {Z}) = (- 1) ^k c_ {2k} (E \ otimes \) de mathbb {C} \ dans, de H^ {4k} (M \ mathbb {Z}).

Ici le

c_ {2k} (E \ otimes \ mathbb {C})

dénote 2 le k - la classe de Chern de de Th du

\ des otimes \ du =E du mathbb {C} \ de oplus c.

du E et , du

H^ {4k} (M \ mathbb {Z})

, 4 le k - groupe de Cohomology de

M

avec des coefficients du nombre entier .

Le $p_k raisonnable de classe de Pontryagin (E, {\ mathbb Q})$ est défini pour être image du $p_k (E)$ dans, de $H^ {4k} (M \ mathbb {Q})$ , 4 le k - groupe de Cohomology de $M$ avec des coefficients raisonnables du .

Les classes de Pontryagin ont une signification dans le &mdash différentiel de la géométrie de vrai ; à la différence de la classe de Chern de , qui assume un paquet complexe de vecteur au départ.

Propriétés

Si tout le Pontryagin classe et les classes de Stiefel-Whitney de de

E

disparaissent alors le paquet est stablement insignifiante, i. sa somme de Whitney de avec un paquet insignifiant est insignifiante. Le

de Pontryagin de total de (E)=1+p_1 (E)+p_2 (E)+ \ cdots \ dans, de H^ {*} (M \ mathbb {Z}),

est multiplicatif en ce qui concerne la somme de paquets de vecteur, c.,

p de (E \ oplus F)=p de Whitney de (E) \ tasse p (F)

pour le E de deux paquets de vecteur et le F au-dessus du M , c.

(E) \ tasse p_1 (F)+p_2 (F)

et ainsi de suite. Donné des 2 le k - le dimensionnel E de paquet de vecteur nous avons le

p_k de (E)=e (E) \ tasse e (E),

là où

e (E)

dénote la classe d'Euler de du E , et le

\ cup

dénote le produit de tasse des classes de cohomology.

Classes et courbure de Pontryagin

Comme était montré par Shiing-Shen Chern et André Weil autour de 1948, raisonnable Pontryagin classe

$p_k (E, \) de mathbb {Q} \ dans, de H^ {4k} (M \ mathbb {Q})$ peuvent être présentées pendant que des formes différentielles qui dépendent polynomially de la forme de courbure de d'un paquet de vecteur. Cette théorie de Chern-Weil de a indiqué un raccordement important entre la topologie algébrique et la géométrie différentielle globale.

Pour un du paquet de vecteur de E au-dessus d'un n - le différentiable M de la tubulure dimensionnel équipé d'un raccordement , son k de - la classe de Pontryagin de de Th peut être réalisée par 4 le k - $de de la forme {\ rm TR} (\ Omega \ cale \ cdots \ cale \ Omega)$ construit avec 2 copies du k du $de \ Omega$ . En particulier valeur

$\ cale \ cdots \ cale \) d'Omega \ dans le _ de H^ {4k} {Dr.} (M)$ ne dépend pas du choix du raccordement. Ici _ de H^ de $de {*} {Dr.} (M)$ dénote les groupes du cohomology de De Rham de .

Classes de Pontryagin d'une tubulure

Les classes de Pontryagin de d'une tubulure douce sont définies pour être les classes de Pontryagin de son paquet de tangente de .

Novikov théorème déclare cela si tubulure sont homéomorphe puis leur raisonnable Pontryagin classe

$p_k (, de M \ mathbb {Q}) \ dans H^ {, de 4k} (M \ mathbb {Q})$ sont les mêmes.

Si la dimension est au moins cinq, là tout au plus de façon finie beaucoup de différentes tubulures douces avec le donné le type homotopy et les classes de Pontryagin.

Nombres de Pontryagin

Les nombres de Pontryagin de sont les invariants topologiques de certain d'une tubulure douce . Le nombre de Pontryagin disparaît si la dimension de la tubulure n'est pas divisible par 4. Il est défini en termes de classes de Pontryagin d'une tubulure comme suit :

Donné des 4 lisses le n - divers dimensionnel M et une collection du
$k_1, k_2, \ points, k_m$ de
de nombres normaux tels que $k_1+k_2+ \ cdots+k_m=n$ Pontryagin nombre $P_ {k_1, k_2, \ points, k_m}$ est défini par

$P_ {k_1, k_2, \ points, k_m} =p_ {k_1} \ tasse p_ {k_2} \ tasse \ cdots \ p_ de tasse {k_m} ()$ là où $p_ {k}$ dénote le k - classe de Pontryagin de Th et la classe fondamentale du M .

Propriétés

Les nombres de Pontryagin de

sont orienté Cobordism invariable ; et ainsi que le Stiefel-Whitney numérote qu'ils déterminent la classe orientée du cobordism d'une tubulure orientée.

Des nombres de Pontryagin de tubulure Riemannian fermée (aussi bien que des classes de Pontryagin) peuvent être calculés comme intégrales de certain polynôme de tenseur de courbure de tubulure Riemannian.

Des invariants tels que la signature et le

\ chapeau A

-genus peuvent être exprimés par des nombres de Pontryagin.

Généralisations

Il y a également une classe quaternionic du Pontryagin, pour des paquets de vecteur avec la structure de Quaternion .

Voir également

forme de Chern-Simons

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