Classe de Conjugacy

Dans les mathématiques , particulièrement la théorie de groupe , les éléments de n'importe quel groupe peut être divisé par dans les classes de conjugacy de ; les membres de la même classe de conjugacy partagent beaucoup de propriétés, et l'étude des classes de conjugacy des groupes non-abéliens indique beaucoup de dispositifs importants de leur structure. Dans tout le abélien chaque classe conjuguée des groupes est un ensemble contenant un élément (singleton réglé de ).

Le fonctionne qui sont constants pour des membres de la même classe de conjugacy s'appellent les fonctions de classe de

Définition

Supposer que le G est un groupe. Le de deux éléments un et le b du G s'appellent le conjugé si là existe un d'élément g dans le G avec le ^{&minus du bâillon ; 1} = b .

(Dans l'algèbre linéaire , parce que les matrices ceci s'appelle la similitude .)

Il peut aisément montrer que le conjugacy est une relation d'équivalence et divise donc le G dans les classes d'équivalence en (ceci signifie que chaque élément du groupe appartient à avec précision une classe de conjugacy, et le Cl de classes ( un ) et Cl ( b ) sont égal si et seulement si le de un et le b sont conjugué, et le disjoignent autrement.) La classe d'équivalence qui contient le d'élément un dans le G est Cl de ( un ) = {^{&minus de bâillon de ; 1} : G } de ∈ du g et s'appelle la classe de conjugacy de du un . Le nombre de classe de du G est le nombre de classes de conjugacy.

Exemples

Le symétrique S ₃ du groupe , se composant de chacune des 6 permutations de trois éléments, a trois classes de conjugacy :
aucun changement (ABC de → d'ABC)
échangeant deux (acb de → d'ABC, cba de → de CCB de → d'ABC, d'ABC)
une permutation cyclique de chacun des trois (bca de → d'ABC, cabine de → d'ABC)

Le symétrique S ₄ de groupe, se composant de chacune des 24 permutations de quatre éléments, a cinq classes de conjugacy, énumérées avec leurs ordres :
aucun changement (1)
échanger deux (6)
une permutation cyclique de trois (8)
une permutation cyclique de chacun des quatre (6)
échangeant deux, et également les autre deux (3)

Généralement le nombre de classes de conjugacy dans le symétrique S _n de groupe est égal au nombre de cloisons de nombre entier de du n . C'est parce que chaque classe de conjugacy correspond à exactement une cloison de {1, 2,…, n } dans les cycles , jusqu'à la permutation des éléments de {1, 2,…, le n }.

Voir également les rotations appropriées de du cube , qui peut être caractérisé par des permutations des diagonales de corps.

Propriétés

que l'élément d'identité est toujours dans sa propre classe, celle est Cl ( e ) = { e }

si le G est le abélien, puis le ^{&minus du bâillon de ; 1} = un pour tout le un et g dans le G ; ainsi Cl ( un ) = { un } pour tout le un dans le G ; le concept est donc pas très utile dans le cas abélien. L'échec de ceci, nous donne ainsi une idée en quel degré le groupe est abélien.

si le de deux éléments un et le b du G appartiennent à la même classe de conjugacy (c., s'ils sont conjugués), puis eux ont le même ordre . Plus généralement, chaque rapport au sujet de un peut être traduit en rapport au sujet du b = ^{&minus du bâillon de ; 1}, parce que le φ de carte ( X ) = ^{&minus du gxg de ; 1} est un automorphisme du G .

un d'élément un du G se situe au centre Z ( G ) de du G si et seulement si sa classe de conjugacy a seulement un élément, un lui-même. Plus généralement, si le G ( de C_{un ) dénote le centralisateur de du un dans le G , c., le sous-groupe se composant de tout le g d'éléments tels que le GA = AG , puis l'index : C_{'' G ''} ('' a '') est égal au nombre d'éléments dans la classe de conjugacy du par .}

Équation de classe de Conjugacy

Si le G est un groupe fini, alors les paragraphes précédents, ainsi que le théorème du Lagrange de , impliquent que le nombre d'éléments dans chaque de classe de conjugacy divise l'ordre de de '' G '' . (Note : l'identité est sa propre classe de conjugacy.)

En outre, pour n'importe quel G de groupe, nous pouvons définir un réglé S de représentant = { i de _{de X } en sélectionnant un élément de chaque classe de conjugacy du G qui a plus d'un élément. Alors le G est le disjoignent l'union de Z ( G ) et du Cl de classes de conjugacy ( i} de _{de X ) des éléments du S . On peut alors formuler l'équation importante suivante de classe de : | G | = |Z ( G )| + i} de ∑_{: '' _{'' de '' H je ''} là où la somme se prolonge au-dessus du i de _{du H} = G} ( i de C_{de _{de X ) pour chaque i} de _{du X dans le S . Noter cela : '' _{'' de '' H je ''} est le nombre d'éléments dans le i , un diviseur approprié de classe de conjugacy de de | G | plus grand qu'un. Si les diviseurs de | G | sont connus, puis cette équation peut souvent être employée pour obtenir des informations sur la taille du centre ou des classes de conjugacy.}}

Exemple

Considérer un fini G (c'est-à-dire, un groupe du P-groupe avec n de ^{de p d'ordre, où le p est un nombre premier et le n > 0). Nous allons prouver cela : chaque fini de p - le groupe a un non- insignifiant central.}

Puisque l'ordre de n'importe quel sous-groupe du G doit diviser l'ordre du G , il suit que chaque i de _{du H a également l'ordre une certaine puissance de ^{du p ( de _{de k i})}, où 0 < le i de _{du k} < n . Mais d'autre part l'équation de classe exige cela | G | = n de ^{du p} = |Z ( G )| + i} (^{de p ( de _{de k i})}) de ∑_{. De ceci nous voyons que le p doit se diviser |Z ( G )|, ainsi |Z ( G )| > 1.}

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Plus généralement, donné n'importe quel S du sous-ensemble du G ( S pas nécessairement un sous-groupe), nous définissons un T de sous-ensemble du G pour être conjugués au S si et seulement si là existe un certain g dans le G tels que le T = ^{&minus du gSg de ; 1}. Nous pouvons définir le Cl de ( S ) comme ensemble de tout le T de sous-ensembles du G tels que le T est conjugué au S .

Un théorème fréquemment utilisé est que, donné n'importe quel S de sous-ensemble du G , l'index de N ( S ) (le normalisateur S ) dans le G égale l'ordre du Cl ( S ) :

|Cl ( S )| = : N ('' S '')

Ceci suit puisque, si le g et le h sont dans le G , puis ^{&minus du gSg de ; 1} = ^{&minus du hSh de ; 1} si et seulement si ^{de gh de ; &minus ; 1} est dans N ( S ), en d'autres termes, si et seulement si le g et le h sont dans le même Coset de N ( S ).

Noter que cette formule généralise celui donné plus tôt pour le nombre d'éléments dans une classe de conjugacy (laisser le S = { un }).

Ce qui précède est particulièrement utile en parlant des sous-groupes du G . Les sous-groupes peuvent être divisés ainsi en classes de conjugacy, avec deux sous-groupes appartenant à la même classe si et seulement s'ils sont conjugués. Les sous-groupes conjugués sont le isomorphe, mais les sous-groupes isomorphes n'ont pas besoin d'être conjugués (par exemple, un groupe abélien peut avoir deux sous-groupes différents qui sont isomorphes, mais ils ne sont jamais conjugués).

Conjugacy comme action de groupe < ! -- Cette section est liée du Quaternions et de la rotation spatiale -->

Si nous définissons le g.x de = ^{&minus du gxg de ; 1} pour n'importe quel g de deux éléments et X dans le G , alors nous prenons une action de groupe du G sur le G . Les orbites de cette action sont les classes de conjugacy, et le stabilisateur d'un élément donné est le centralisateur de l'élément.

De même, nous pouvons définir une action de groupe du G sur l'ensemble de tous les sous-ensembles de G , en écrivant le g.S de = ^{&minus du gSg de ; 1}, ou sur l'ensemble des sous-groupes du G .

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