Chemin-ordre

Dans la physique théorique , le chemin-commandant est le procédé (ou un $de\; méta-opérateur\; \{\backslash \; P\; mathcal\}$) de commander un produit de beaucoup d'opérateurs selon la valeur d'un paramètre choisi : le $de$

{\ P mathcal} \ ont laissé O_N (\ sigma_N) \ droit : = O_ {p_1} (\ sigma_ {p_1}) O_ {p_2} (\ sigma_ {p_2}) \ points O_ {p_N} (\ sigma_ {p_N})

Ici $p:\backslash \; \{1.2,\; \backslash \; points,\; N\; \backslash \}\; \backslash \; à\; \backslash \; \{1.2,\; \backslash \; points,\; N\; \backslash \}$ est une permutation qui commande les paramètres :

$\backslash \; sigma\_\; \{p\_1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; sigma\_\; \{p\_2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; points\; \backslash \; leq\; \backslash \; sigma\_\; \{p\_N\}$

Exemples

Si un opérateur n'est pas simplement exprimé pendant qu'un produit, mais en fonction d'un autre opérateur, nous doit d'abord exécuter l'expansion de Taylor de de cette fonction. C'est le cas de la boucle de Wilson de qui est définie comme chemin-commandé exponentiel ; ceci garantit que la boucle de Wilson code le Holonomy du raccordement de mesure de . Le $de\; paramètre\; \backslash \; sigma$ qui détermine la commande est un paramètre décrivant la découpe , et parce que la découpe est fermée, la boucle de Wilson doit être défini comme trace afin de devenir le Mesurer-invariable.

Commande de temps

La S-matrice dans la théorie des champs de Quantum est un autre exemple d'un produit chemin-commandé et le paramètre régissant la commande est le temps ; donc ce type de commande s'appelle temps de commandant . La S-matrice, transformant l'état au $t=-\; \backslash \; infty$ à un état à $t=+\; \backslash \; à\; infty$, peut également être considérée comme genre de " ; Holonomy ", analogue à la boucle de Wilson. Nous obtenons une expression temps-commandée pour la raison suivante :

Nous commençons par cette formule simple pour l'exponentiel : $de$

\ exp (h) = \ lim_ {N \ \ infty} \ a laissé (1+ \ frac HN \ droit) ^N

Considérer maintenant l'opérateur discrétisé d'évolution

$S\; =\; \backslash \; point\; (1+h\_\; \{+3\})\; (1+h\_\; \{+2\})\; (1+h\_\; \{+1\})\; (1+h\_0)\; (1+h\_\; \{-\; 1\})\; (\{-\; 2\})\; 1+h\_\; \backslash \; dots$

là où $1+h\_\; \{j\}$ est l'opérateur d'évolution pendant un intervalle infinitésimal $$ de temps. Les limites évoluées peuvent être négligées dans le $\backslash epsilonde\; limite\; \backslash \; à\; 0$. L'opérateur $h\_j$ est défini près = de $h\_j\; de$

\ frac {1} {I \ hbar} \ ^ d'int_ {j \ epsilon} {(j+1) \ epsilon} décollement \ international d^3 X \, H (\ vec X, t).

Noter que les opérateurs d'évolution au-dessus du " ; past" ; les intervalles de temps apparaît du côté droit du produit. Nous voyons que la formule est analogue à l'identité au-dessus de satisfaisant par l'exponentiel, et nous pouvons écrire

$S\; =\; \{\backslash \; T\; mathcal\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; ^\; laissé\; (\backslash \; sum\_\; \{j=-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; h\_j\; \backslash \; droit\; infty)\; =\; \{\backslash \}\; mathcal\; de\; T\; \backslash \; exp\; \backslash \; décollement\; (\backslash \; international\; \backslash ,\; d^3\; X\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{H\; (\backslash \; vec\; X,\; t)\}\; \{I\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; droit)$ laissé

La seule subtilité que nous avons dû inclure était le $de\; temps-ordre\; d\text{'}opérateur\; \{\backslash \; T\; mathcal\}$ parce que les facteurs dans le produit définissant $S$ ci-dessus temps-ont été commandés, trop (et les opérateurs ne permutent pas en général) et le $d\text{'}opérateur\; \{\backslash \; T\; mathcal\}$ garantit que ceci passant commande sera préservé.

Voir également

le de

a commandé exponentiel décrit essentiellement le même concept.
Théorie de mesure de

.

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