Chantre de Georg

Le chantre ( 1845 - de Georg Ferdinand Ludwig Philipp de du 3 mars 1918 du 6 janvier ) était un mathématicien allemand du . Il est le plus connu en tant que créateur de la théorie des ensembles , qui est devenue une théorie fondamentale dans les mathématiques. Le chantre a établi l'importance de la correspondance linéaire entre les ensembles, a défini le infini et les ensembles well-ordered , et a montré que les vrais nombres sont " ; plus de numerous" ; que les nombres normaux en fait, le théorème du chantre de implique l'existence d'un " ; Infini d'infinities" ;. Il a défini le des nombres ordinaux cardinaux de et , et leur arithmétique. Le travail du chantre est de grand intérêt philosophique, un fait dont il allait bien averti.

La théorie du chantre des nombres transfinis a été à l'origine considérée comme si compteur-intuitif-égale choquant-quelle a rencontré la résistance des contemporains mathématiques tels que le Leopold Kronecker et le Henri Poincaré et plus tard du Hermann Weyl et du L. Brouwer , alors que le Ludwig Wittgenstein formulait les objections philosophiques . Quelques théologiens chrétiens (en particulier néo--Scholastics ) de ont vu le travail du chantre comme défi à l'unicité de l'infini absolu en forme de Dieu , à une occasion égalisant la théorie de nombres transfinis avec le Pantheism . Les objections à son travail étaient de temps en temps féroces : Poincaré s'est rapporté aux idées du chantre comme " ; disease" grave ; l'infection de la discipline des mathématiques , et de l'opposition publique et des attaques personnelles de Kronecker a inclus décrire le chantre comme " ; charlatan" scientifique ; , un " ; renegade" ; et un " ; corrupteur de youth." ; L'écriture des décennies après la mort du chantre, Wittgenstein a déploré que les mathématiques sont " ; monté par et à travers avec les idiomes pernicieux de la théorie des ensembles, " ; ce qu'il a écarté comme " ; nonsense" total ; c'est " ; laughable" ; et " ; wrong" ;. Les accès périodiques du chantre de la dépression de 1884 à la fin de sa vie ont été par le passé blâmés sur l'attitude hostile de plusieurs de ses contemporains, mais ces épisodes peuvent maintenant être vus en tant que manifestations probables d'un désordre bipolaire .

La critique dure a été assortie par des accolades internationales. En 1904, la société royale de de Londres attribuée chantre sa médaille de Sylvester de , l'honneur le plus élevé elle peut conférer. Le chantre a cru que sa théorie de nombres transfinis avait été communiquée à lui par God. Le David Hilbert l'a défendue de ses critiques en déclarant célèbre : " ; Personne ne nous expulseront du paradis que le chantre a created." ;

La vie

Jeunesse et études

Le chantre était né en 1845 dans la colonie marchande occidentale dans le St Petersbourg , Russie , et apporté vers le haut la ville jusqu'à ce qu'il ait eu onze ans. Georg, le plus vieux de six enfants, était un violoniste exceptionnel ayant hérité des talents musicaux de ses parents et artistiques considérables. Le père du chantre avait été un membre de la bourse des valeurs de St Petersbourg de ; quand il est devenu malade, la famille s'est déplacée en Allemagne en 1856, d'abord au Wiesbaden puis au Francfort , cherchant des hivers plus doux que ceux du St Petersbourg. En 1860, le chantre a reçu un diplôme avec la distinction du Realschule dans le Darmstadt ; ses qualifications exceptionnelles dans les mathématiques, la trigonométrie en particulier, ont été notées. En 1862, le chantre est entré dans l'institut polytechnique fédéral dans le Zurich , aujourd'hui le ETH Zurich . Après réception d'une transmission substantielle sur la mort de son père en 1863, le chantre a décalé ses études à l'université de de Berlin , étant présente parle par Kronecker, Karl Weierstrass et Ernst Kummer . Il a passé l'été de 1866 à l'université de de Göttingen , puis et plus tard un centre très important pour la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui a accordé le PhD pour une thèse sur la théorie des nombres , les indeterminatis de gradus de secundi de De aequationibus.

Professeur et chercheur

Après avoir enseigné brièvement dans une école des filles de Berlin, le chantre a pris une position à l'université de de Halle , où il a dépensé sa carrière entière. Il a été attribué l'habilitation requise pour sa thèse sur la théorie des nombres.

En 1874, le chantre a marié Vally Guttmann. Ils ont eu six enfants, le bout soutenu en 1886. Le chantre pouvait soutenir une famille en dépit du salaire scolaire modeste, grâce à sa transmission de son père. Pendant sa lune de miel dans les montagnes de Harz de , le chantre a passé beaucoup d'heure au cours des discussions mathématiques avec le Richard Dedekind , qu'il a traité en ami deux ans plus tôt tandis que des vacances suisses du .

Le chantre a été promu au professeur extraordinaire en 1872, et a fait le plein professeur en 1879. Pour atteindre le dernier rang à l'âge de 34 était un accomplissement notable, mais le chantre a désiré une chaise à une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin, puis la principale université allemande. Cependant, son travail a rencontré trop d'opposition pour que cela soit possible. Kronecker, qui a dirigé des mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891, est devenu de plus en plus inconfortable avec la perspective de avoir le chantre en tant que collègue, le percevant comme " ; corrupteur de youth" ; pour enseigner ses idées à une plus jeune génération des mathématiciens. Plus mauvais encore, Kronecker, une figure bien établie chez la communauté mathématique et professeur du chantre l'ancien, fondamentalement étés en désaccord avec la poussée du travail du chantre. Kronecker, maintenant vu en tant qu'un des fondateurs du point de vue constructif de dans les mathématiques , détestés beaucoup de la théorie des ensembles du chantre parce qu'il a affirmé l'existence des ensembles satisfaisant certaines propriétés, sans donner des exemples spécifiques des ensembles dont les membres ont en effet satisfait ces propriétés. Le chantre est venu pour croire que la position de Kronecker le rendrait impossible pour que le chantre quitte jamais Halle.

En 1881, le Eduard Heine de collègue de Halle du chantre est mort, créant une chaise vide. Halle a accepté la suggestion du chantre qu'il soit offert au Dedekind , au Heinrich Weber et au Franz Mertens , dans cet ordre, mais chacun a diminué la chaise après l'avoir été offerte. Friedrich Wangerin a été par la suite nommé, mais il n'était jamais près de chantre.

Dans 1882 la correspondance mathématique entre le chantre et le Dedekind est en venue à une extrémité, apparemment en raison du refus de Dedekind à accepter la chaise à Halle. Le chantre a également commencé une autre correspondance importante, par le Gösta Mittag-Leffler en Suède, et a bientôt commencé à éditer dans l'acta Mathematica de du journal de Mittag-Leffler. Mais en 1885, Mittag-Leffler a été préoccupé par la nature philosophique et la nouvelle terminologie dans un chantre de papier avait soumis à l'acta de . Il a demandé au chantre de retirer le papier de l'acta de tandis qu'il était dans la preuve, écrivant que c'était " ; … environ cent ans trop de soon." ; Le chantre s'est conformé, mais a écrit à un tiers :

" ; A eu Mittag-Leffler a eu sa manière, je devrait devoir attendre jusqu'à l'année 1984, qui à moi a semblé une demande trop grande ! … Mais naturellement je ne veux jamais savoir n'importe quoi encore au sujet de l'acta Mathematica de . " ;

Le chantre alors a brusquement raccourci son rapport et correspondance avec Mittag-Leffler, montrant une tendance d'interpréter la critique bien intentionnée comme affront profondément personnel.

Le chantre a souffert son premier accès connu de dépression en 1884. La critique de son travail a pesé sur son esprit : chacune des cinquante-deux lettres qu'il a écrites au Gösta Mittag-Leffler dans Kronecker attaqué par 1884. Un passage d'une de ces lettres est indication des dommages à la confiance en soi du chantre :

" ; … Je ne sais pas quand je reviendrai à la suite de mon travail scientifique. Au moment où je peux ne faire absolument rien avec lui, et me limite au devoir le plus nécessaire de mes conférences ; combien plus heureux je coûterais être scientifiquement en activité, si seulement j'avais le freshness." mental nécessaire ;

Cette crise émotive l'a mené s'appliquer à la conférence sur la philosophie plutôt que des mathématiques. Il a également commencé une étude intense de la littérature élisabéthaine afin d'essayer de montrer que le Francis Bacon a écrit les jeux attribués au Shakespeare (voir la question shakespearienne de profession d'auteur de ) ; ceci a finalement eu comme conséquence deux brochures, éditées en 1896 et 1897.

Le chantre récupéré bientôt ensuite, et a plus tard apporté encore d'autres contributions importantes, y compris son argument diagonal célèbre et théorème . Cependant, il a jamais encore atteint l'à niveau élevé de ses papiers remarquables de 1874-1884. Il a par la suite cherché une réconciliation avec Kronecker, que Kronecker a aimablement accepté. Néanmoins, les désaccords et les difficultés philosophiques les divisant ont persisté. On l'a par le passé pensé que les accès périodiques du chantre de la dépression ont été déclenchés par l'opposition que son travail a rencontrée aux mains de Kronecker. Peu ensuite ce deuxième hospitalisation, fils du chantre plus jeune mort soudainement (tandis que le chantre fournissait une conférence sur ses vues sur la théorie Baconian et le William Shakespeare ), et ce chantre vidangé par tragédie de beaucoup de sa passion pour des mathématiques. Le chantre a été de nouveau hospitalisé en 1903. Un an après, il a été outragé et agité par un papier présenté par le Jules König au congrès international du troisième des mathématiciens . Le papier a essayé de montrer que les principes de base de la théorie des ensembles transfinie étaient faux. Puisqu'on l'avait lu devant ses filles et collègues, le chantre s'est perçu comme après avoir été publiquement humilié. Bien que le Ernst Zermelo ait démontré moins qu'un jour plus tard que la preuve de König avait échoué, le chantre est resté Dieu secoué et même momentanément de interrogation. Chantre souffert de la dépression chronique pour le reste de sa vie, pour lequel il a été excusé de l'enseignement à plusieurs occasions et à plusieurs reprises confiné dans divers sanatoriums. Les événements de 1904 ont précédé une série d'hospitalisations à intervalles de deux ou trois ans. Il n'a pas abandonné des mathématiques complètement, cependant, parlant sur les paradoxes de la théorie des ensembles (paradoxe de Burali-Forti de , paradoxe du chantre de , et paradoxe de Russell de ) à une réunion du Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903, et assistant au congrès international des mathématiciens à Heidelberg en 1904.

En 1911, le chantre était l'un des disciples étrangers distingués invités à assister au 500th anniversaire de la fondation de l'université de de la rue Andrews dans le Ecosse . Le chantre était présent, espérant rencontrer le Bertrand Russell , dont a nouvellement édité le travail du chantre à plusieurs reprises cité de Principia Mathematica de , mais ceci n'est pas venu au sujet de. L'année suivante, rue Andrews a attribué à chantre un le doctorat honorifique , mais la maladie a exclu le sien recevant le degré chez la personne.

Le chantre s'est retiré en 1913, et a souffert de la pauvreté, même malnutrition, pendant la Première Guerre Mondiale . La célébration publique de son soixante-dixième anniversaire a été décommandée en raison de la guerre. Il est mort sur le du 6 janvier 1918 dans le sanatorium où il avait passé l'année finale de sa vie.

Travail mathématique

Le travail du chantre entre 1874 et 1884 est l'origine de la théorie des ensembles . Avant ce travail, le concept d'un ensemble était plutôt élémentaire qui avait été employé implicitement depuis les commencements des mathématiques, remontant aux idées du Aristote . Personne ne s'étaient rendus compte que la théorie des ensembles a eu n'importe quel contenu non trivial : Avant chantre, il y avait seulement des ensembles finis (il est facile comprendre que) et " ; l'infinite" ; (qui a été considéré une matière pour philosophique, plutôt que mathématique, discussion). En montrant qu'il y a (infiniment) beaucoup de tailles possibles pour les ensembles infinis, le chantre a établi que la théorie des ensembles n'était pas insignifiante, et elle a dû être étudiée. La théorie des ensembles est venue pour jouer le rôle d'une théorie fondamentale dans des mathématiques modernes, dans le sens qu'elle interprète des propositions au sujet des objets mathématiques (par exemple, des nombres et des fonctions) de tous les secteurs traditionnels des mathématiques (tels qu'algèbre , analyse et topologie ) dans une théorie simple, et fournit un ensemble standard d'axiomes pour les prouver ou réfuter. Les concepts de base de la théorie des ensembles sont maintenant employés dans toutes des mathématiques.

Dans un de ses papiers en avance, le chantre a montré que l'ensemble de vrais nombres est " ; plus de numerous" ; que l'ensemble de nombres normaux ; ceci a montré, pour la première fois, que là existent les ensembles infinis de différentes tailles . Il était également le premier pour apprécier l'importance des correspondances linéaires (" ci-après dénoté de ; 1-to-1" ;) dans la théorie des ensembles. Il avait l'habitude ce concept pour définir le les ensembles infinis finis de et de subdivisant ce dernier en jeux denumerable et les ensembles incomptables (ensembles infinis nondenumerable) du (ou comptable infini) de .

Le chantre a présenté les constructions fondamentales dans la théorie des ensembles, telle que la puissance réglé de d'un A d'ensemble, qui est l'ensemble de tous les sous-ensembles possibles A . Il plus tard a montré que la taille de l'ensemble de puissance de A est strictement plus grande que la taille du A , même lorsque le A est un ensemble infini ; ce résultat est bientôt devenu notoire en tant que théorème du chantre de . Le chantre a développé une théorie et une arithmétique entières de des ensembles infinis , appelées des cardinaux de le et les nombres ordinaux qui ont prolongé l'arithmétique des nombres normaux. Sa notation pour les nombres cardinaux était le $hébreu de lettre \ aleph$ (aleph ) avec un indice inférieur de nombre normal ; pour les nombres ordinaux il a utilisé le ω grec de lettre ( Omega ). Cette notation est encore en service aujourd'hui.

L'hypothèse de continuum de , présentée par Cantor, a été présentée par le David Hilbert en tant que premier de ses problèmes non résolus du vingt-trois dans son adresse célèbre au congrès 1900 international de des mathématiciens dans le Paris . Le chantre travaillent la notification favorable également attirée au delà de l'éloge célébré de Hilbert. La théorie des ensembles du chantre félicité par de Charles Peirce de de philosophe des USA, et, les conférences publiques suivantes fournies par Cantor au premier congrès international des mathématiciens, tenu à Zurich en 1897, Hurwitz et Hadamard également tous les deux ont exprimé leur admiration. À ce congrès, le chantre a remplacé son amitié et correspondance avec Dedekind. De 1905, le chantre a correspondu à son britannique Philip Jourdain d'admirateur et de traducteur sur l'histoire de la théorie des ensembles et sur les idées religieuses du chantre. Ceci plus tard a été édité, de même que plusieurs de ses travaux expositoires.

Théorie des nombres et théorie de fonction

Premiers papiers du chantre les dix étaient sur la théorie des nombres , sa matière de thèse. À la suggestion du Eduard Heine , professeur à Halle, chantre s'est tourné vers l'analyse . Heine a proposé que le chantre résolvent le un problème non résolu qui avait éludé le Dirichlet , le Lipschitz , le Bernhard Riemann , et le Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par les séries trigonométriques . Le chantre a résolu ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, le chantre a édité plus de documents sur des séries trigonométriques, y compris les nombres irrationnels de définition d'un pendant que les ordres de convergent de des nombres raisonnables Dedekind de , que le chantre a traités en ami en 1872, citaient ce document plus tard qui année, dans le papier où il a visé la première fois sa définition célébrée de vrais nombres par les coupes de Dedekind de

La théorie des ensembles

Le commencement de la théorie des ensembles comme branche des mathématiques est souvent marqué par la publication du papier du chantre 1874, " ; L'aller de DES Inbegriffes d'Eigenschaft d'eine d'Über reellen algebraischen Zahlen" ; (" ; Sur une propriété caractéristique de tout le vrai Numbers" algébrique ;). Précédemment, on avait implicitement assumé que toutes les collections infinies sont equinumerous (c'est-à-dire, du " ; le même size" ; ou ayant le même nombre d'éléments). Il a alors montré que les vrais nombres étaient le non comptable, quoiqu'utiliser une preuve plus complexe que l'argument diagonal remarquablement élégant et juste célébré il a visé en 1891. Avant ceci, il avait déjà montré que l'ensemble de nombres raisonnables est comptable.

Le Joseph Liouville avait établi l'existence des nombres transcendantaux en 1851, et le papier du chantre a établi que l'ensemble de nombres transcendantaux est incomptable. La logique est comme suit : Le chantre avait prouvé que l'union de deux ensembles comptables doit être comptable. L'ensemble de tous les vrais nombres est égal à l'union de l'ensemble de nombres algébriques avec l'ensemble de nombres transcendantaux (c'est-à-dire, chaque vrai nombre doit être algébrique ou transcendantal). Le papier 1874 a prouvé que le les nombres algébriques (c'est-à-dire, le enracine des équations polynômes du avec les coefficients du nombre entier , étaient comptable. En revanche, le chantre également avait juste prouvé que les vrais nombres étaient le pas comptable. Si les nombres transcendantaux étaient comptables, alors le résultat de leur union avec des nombres algébriques serait également comptable. Puisque leur union (qui égale l'ensemble de tous les vrais nombres) est le incomptable, elle suit logiquement que les transcendentals doivent être incomptables. Les transcendentals ont le même " ; power" ; (voir ci-dessous) en tant que les reals, et " ; presque all" ; les vrais nombres doivent être transcendantaux. Le chantre a remarqué qu'il avait effectivement réprimandé un théorème, en raison du Liouville , de sorte qu'il y ait infiniment beaucoup de nombres transcendantaux dans chaque intervalle.

Entre 1879 et 1884, le chantre a édité une série de six articles dans le Mathematische Annalen de qui a ensemble formé une introduction à sa théorie des ensembles. En même temps, là élevait l'opposition aux idées du chantre, menées par Kronecker, qui a admis des concepts mathématiques seulement s'ils pourraient être construits dans un nombre fini du d'étapes des nombres normaux, qu'il a pris comme intuitivement donné. Pour Kronecker, la hiérarchie du chantre des infinis était inadmissible, depuis accepter le concept du l'infini que réel ouvrirait la porte aux paradoxes qui contesteraient la validité des mathématiques dans son ensemble. Le chantre a également découvert le chantre réglé de au cours de cette période.

Le cinquième papier de cette série, " ; Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (" ; Bases d'une théorie générale d'Aggregates" ;), édité en 1883, était le plus important des six et a été également édité comme monographie séparée . Il a contenu la réponse du chantre à ses critiques et a montré comment les nombres transfinis étaient une prolongation systématique des nombres normaux. Il commence en définissant les ensembles Well-ordered du . Les nombres ordinaux sont alors présentés comme les types d'ordre d'ensembles well-ordered. Le chantre définit alors l'addition et la multiplication du cardinal et des nombres ordinaux. En 1885, le chantre a prolongé sa théorie de types d'ordre de sorte que les nombres ordinaux soient simplement devenus une caisse spéciale de types d'ordre.

En 1891, il a édité un document contenant son " élégant ; argument" diagonal ; pour l'existence d'un ensemble incomptable. Il a appliqué la même idée de prouver le théorème du chantre de : la cardinalité de l'ensemble de puissance d'un A d'ensemble est strictement plus grande que la cardinalité du A . Ceci a établi la richesse de la hiérarchie des ensembles infinis, et du l'arithmétique ordinale cardinale de et de que le chantre avait définie. Son argument est fondamental dans la solution du problème d'arrêt et la preuve théorème de l'imperfection de Gödel de du premier.

En 1895 et 1897, le chantre a édité un document en deux parties dans le Mathematische Annalen de sous le direction éditoriale de s de Klein Felix '; c'étaient ses derniers papiers significatifs sur la théorie des ensembles. Le premier papier commence en définissant l'ensemble, le sous-ensemble , etc., des manières qui seraient en grande partie acceptables maintenant. L'arithmétique cardinale et ordinale sont passées en revue. Le chantre a voulu que le deuxième papier inclût une preuve de l'hypothèse de continuum, mais a dû arranger pour expositing sa théorie des ensembles Well-ordered et des nombres ordinaux. Le chantre essaye de montrer que si le A et le B sont des ensembles avec le A équivalent à un sous-ensemble de B et de B équivalent à un sous-ensemble de A , alors le A et le B sont équivalents. Le Ernst Schroeder avait énoncé ce théorème un peu plus tôt, mais sa preuve, aussi bien que le chantre, était défectueuse. Le Felix Bernstein a assuré une preuve correcte dans sa thèse 1898 de PhD ; par conséquent le théorème nommé de Chantre-Schroeder-Bernstein de .

Correspondance linéaire

voient également : Bijection

Le papier 1874 de Crelle du chantre était le premier pour appeler la notion d'une correspondance du 1 to-1 , bien qu'il n'ait pas employé cette expression. Il a alors commencé à rechercher une 1 correspondance to-1 entre les points de la place d'unité de et les points d'une ligne le segment d'unité. Dans une lettre 1877 à Dedekind, le chantre a prouvé un résultat plus fort du lointain : pour n'importe quel positif n de nombre entier, là existe une 1 correspondance to-1 entre les points sur la ligne segment d'unité et tous les points dans espace dimensionnel du un '' n '' -. Au sujet de cette découverte le chantre a célèbre écrit à Dedekind : " ; Je le vois, pas de je ne le crois de mais ! " ; (" ; Je le vois, mais je ne le crois pas ! " ;) Le résultat qu'il a trouvé ainsi étonner a des implications pour la géométrie et la notion de la dimension .

En 1878, le chantre a soumis un autre papier au journal de Crelle, en lequel il a défini avec précision le concept d'une 1 correspondance to-1, et a présenté la notion du " ; " de la puissance ; (une limite qu'il a prise du Jakob Steiner ) ou " ; equivalence" ; des ensembles : deux ensembles sont le équivalent (avoir la même puissance) si là existe une 1 correspondance to-1 entre eux. Le chantre a défini les ensembles comptables (ou les ensembles denumerable) en tant qu'ensembles qui peuvent être mis dans une 1 correspondance to-1 avec les nombres normaux , et a montré que les nombres raisonnables sont denumerable. Il a également montré que le n - le dimensionnel n de ^{du R de l'espace euclidien a la même puissance que le R des vrais nombres , de même que fait un produit comptable infini des copies du R . Tandis qu'il faisait l'utilisation libre du countability comme concept, il n'a pas écrit le " de mot ; countable" ; jusqu'en 1883. Le chantre a également discuté le sien pensant à la dimension , soumettant à une contrainte que son traçant entre l'intervalle unitaire et la place d'unité n'était pas un continu un.}

Ce document, comme le papier 1874, a contrarié Kronecker, et le chantre a voulu le retirer ; cependant, Dedekind l'a persuadé que pour ne pas faire ainsi et le Weierstrass a également soutenu sa publication. Néanmoins, le chantre a jamais encore soumis n'importe quoi à Crelle.

Hypothèse de continuum

voient également :

l'hypothèse de continuum de Le chantre était le premier pour formuler ce qui plus tard est venu pour être connu comme hypothèse ou ch de continuum de : là existe aucun ensemble dont la puissance est plus grande que cela des produits naturels et de moins que cela des reals (ou d'une manière equivalente, la cardinalité des reals est aleph-one du exactement , plutôt que juste l'aleph-one du au moins ). Le chantre a cru que l'hypothèse de continuum à être vraie et éprouvée pendant beaucoup d'années au prouvent il, en vain. Son incapacité de prouver l'hypothèse de continuum lui a causé l'inquiétude considérable.

Paradoxes de théorie des ensembles

Les examens des paradoxes placer-théorétiques ont commencé à apparaître autour de la fin du 19ème siècle. Certains de ces problèmes fondamentaux implicites avec le programme de la théorie des ensembles du chantre. À un papier 1897 sur une matière indépendante, le Cesare Burali-Forti a visé la première un tel paradoxe, le paradoxe de Burali-Forti de : le nombre ordinal de l'ensemble de tous les nombres ordinaux doit être un nombre ordinal et ceci mène à une contradiction. Le chantre a découvert ce paradoxe en 1895, et l'a décrit dans une lettre 1896 au Hilbert . La critique a monté au point où le chantre a lancé des arguments contraires en 1903, prévu pour défendre les principes de base de sa théorie des ensembles.

En 1899, le chantre a découvert son paradoxe éponyme : quel est le nombre cardinal de l'ensemble de tous les ensembles ? Clairement ce doit être le plus grand possible cardinal. Pourtant pour n'importe quel A d'ensemble, le nombre cardinal de l'ensemble de puissance de A est strictement plus grand que le nombre cardinal du A (ce fait est maintenant connu en tant que théorème du chantre de ). Ce paradoxe, ainsi que Burali-Forti, a mené le chantre formuler un concept appelé la limitation de de la taille , selon laquelle la collection de tous les nombres ordinaux, ou de tous les ensembles, était un " ; multiplicity" contradictoire ; c'était " ; trop large" ; pour être un ensemble. De telles collections plus tard sont devenues notoires comme classes appropriées

Une vue commune parmi des mathématiciens est que ces paradoxes, ainsi que le paradoxe de Russell de , démontrent qu'il n'est pas possible de prendre un " ; naive" ; , ou non-axiomatique, approche à la théorie des ensembles sans risquer la contradiction, et lui est certain qu'ils aient été parmi les motivations pour le Zermelo et d'autres pour produire les axiomatisations de la théorie des ensembles. D'autres notent, cependant, que les paradoxes n'obtiennent pas en vue sans cérémonie motivée par la hiérarchie itérative , qui peut être vue en tant qu'explication de l'idée de la limitation de la taille. Certains doutent également que la formulation de Fregean de la théorie des ensembles naïve (qui de était le système directement réfuté par le paradoxe de Russell) est vraiment une interprétation fidèle de la conception de Cantorian.

Philosophie, religion et mathématiques du chantre

Le concept de l'existence d'un infini réel était un souci partagé important dans les royaumes des mathématiques, de la philosophie et de la religion. La préservation de l'orthodoxie du rapport entre Dieu et les mathématiques, bien que pas sous la même forme que tenue par ses critiques, était longue un souci du chantre. Il a directement adressé cette intersection entre ces disciplines dans l'introduction à son einer de Grundlagen de allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, où il a souligné le raccordement entre sa vue de l'infini et le philosophique. Au chantre, ses vues mathématiques ont été intrinsèquement liées à leur philosophique et théologique implication-il a identifié le infini absolu avec Dieu , et il a considéré son travail sur des nombres transfinis avoir été directement communiqué à lui par God, qui avait choisi le chantre pour les indiquer au monde.

La discussion parmi des mathématiciens s'est développée hors des vues de opposition en philosophie de des mathématiques concernant la nature de l'infini réel. Certains ont soutenu sur la vue que l'infini était une abstraction qui n'était pas mathématiquement légitime, et a nié son existence. Les mathématiciens de trois écoles de pensée importantes (constructivisme et ses deux ramifications, Intuitionism et Finitism ) se sont opposés aux théories du chantre dans cette matière. Pour des constructivistes tels que Kronecker, ce rejet d'infini réel provient du désaccord fondamental avec l'idée que les preuves Nonconstructive tel que l'argument diagonal du chantre sont une suffisamment de preuve que quelque chose existe, soutenant à la place que les preuves constructives sont exigées. L'Intuitionism rejette également l'idée que l'infini réel est une expression de n'importe quelle sorte de réalité, mais arrive à la décision par l'intermédiaire d'un itinéraire différent que le constructivisme. Premièrement, l'argument du chantre se repose sur la logique pour prouver l'existence des nombres transfinis comme entité mathématique réelle, tandis que les intuitionists soutiennent que des entités mathématiques ne peuvent pas être réduites aux propositions logiques, commençant à la place des intuitions de l'esprit. Les mathématiciens tels que le Brouwer et particulièrement le Poincaré ont adopté une position intuitionist du contre le travail du chantre. Citant les paradoxes de la théorie des ensembles comme exemple de sa nature fondamentalement défectueuse, Poincaré a tenu ce " ; la plupart des idées de la théorie des ensembles de Cantorian devraient être bannies du " de mathématiques une fois pour toutes. ;

Les théologiens chrétiens ont vu le travail du chantre comme défi à l'unicité de l'infini absolu en forme de Dieu. En particulier, les penseurs Néo--Thomist du ont vu l'existence d'un infini réel qui s'est composé de quelque chose autre que Dieu en tant que compromission du " ; La réclamation exclusive de Dieu à l'infinity" suprême ;. Le chantre a fortement cru que cette vue était une interprétation fausse d'infini, et a été convaincu que la théorie des ensembles pourrait aider correct cette erreur :

" ; … les espèces transfinies sont juste comme beaucoup à la disposition des intentions de créateur et sa volonté illimitée absolue que sont les numbers." finis ;

Le chantre a également cru que sa théorie de nombres transfinis est allée à l'encontre du matérialisme et du déterminisme - et a été choquée quand il s'est rendu compte qu'il était le seul membre de la faculté à Halle qui a fait la prise du pas à la croyance philosophique déterministe.

En 1888, le chantre a édité sa correspondance avec plusieurs philosophes sur les implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Dans une tentative étendue de persuader les penseurs chrétiens et les autorités d'adopter ses vues, le chantre avait correspondu aux philosophes chrétiens tels que le Tilman Pesch et le Joseph Hontheim , aussi bien que des théologiens tels que le Johannes cardinal Franzelin , qui a par le passé répondu en égalisant la théorie de nombres transfinis avec le Pantheism . Chantre même envoyé une lettre directement à pape Lion de XIII lui-même, et adressé plusieurs brochures à lui.

La philosophie du chantre sur la nature des nombres l'a mené affirmer une croyance dans la liberté de mathématiques pour poser en principe et prouver des concepts indépendamment du royaume des phénomènes physiques, comme expressions dans une réalité interne. Les seules restrictions à ce système métaphysique du sont que tous les concepts mathématiques doivent être exempts de contradiction interne, et qu'ils suivent des définitions, des axiomes, et des théorèmes existants. Cette croyance est récapitulée dans son affirmation célèbre qui " ; l'essence des mathématiques est son freedom." ; Ces idées mettent en parallèle ceux du Edmund Husserl .

Le papier du chantre 1883 indique qu'il allait bien averti de l'opposition que ses idées rencontraient :

" ; … Je me rends compte que dans cet endroit de l'entreprise I moi-même dans une certaine opposition aux vues très répandues au sujet de l'infini mathématique et aux avis fréquemment défendus sur la nature de numbers." ;

Par conséquent il consacre beaucoup d'espace à justifier ses premiers travaux, affirmant que des concepts mathématiques peuvent être librement présentés tant que ils sont exempts de contradiction et défini en termes de concepts précédemment admis. Il cite également le Aristote , le Descartes , le Berkeley , le Leibniz , et le Bolzano sur l'infini.

L'ascendance du chantre

Les parents paternels du chantre étaient de Copenhague , et sauvé en Russie de la rupture des guerres napoléoniennes . Dans ses lettres, le chantre s'est référé à elles " ; Israelites" ;. Cependant, il n'y a aucune évidence directe si ses parents ont pratiqué le judaïsme ; il y a très peu l'information directe sur eux de la sorte. Le chantre de Jakob, le père du chantre, a donné à ses enfants le les saints chrétiens de des noms de . De plus, plusieurs des parents de sa grand-mère étaient dans la fonction publique tsariste, qui n'accueillerait pas des juifs, à moins qu'eux, ou leurs ancêtres, convertis en christianisme orthodoxe. Le père du chantre, chantre de Georg Woldemar, a été instruit dans la mission luthérienne du dans le St Petersbourg, et sa correspondance avec son fils montre les deux en tant que Luthériens dévots. Sa mère, Maria Anna Böhm, était un autrichien soutenu dans le St Petersbourg et le baptisé catholique ; elle a converti en protestantisme sur le mariage. Cependant, il y a une lettre du frère Louis du chantre à leur mère, dire " ; Même si nous avons été descendus des juifs dix fois plus de, et quoique je peux être, en principe, complètement en faveur d'égalité des droits pour des Hébreux, dans la vie sociale je préfère le " de chrétiens… ; ce qui pourrait impliquer qu'elle était de l'ascendance juive.

Ainsi le chantre n'était pas lui-même juif par la foi , mais néanmoins s'est appelé différemment allemand, juif, russe, et le danois.

Historiographie

Jusqu'aux années 70, les publications scolaires en chef sur le chantre étaient deux monographies courtes par le Schönflies (1927) - en grande partie la correspondance avec Mittag-Leffler-et le Fraenkel (1930). Tous les deux étaient à la deuxième et troisième main ; ni l'un ni l'autre n'ont eu beaucoup sa vie personnelle. La lacune a été en grande partie comblée par le hommes de de s de Bell temple Eric des 'des mathématiques (1937), lesquels des biographes modernes du chantre décrivent comme " ; peut-être le livre moderne le plus largement lu sur l'histoire de du " des mathématiques ; ; et comme " ; un du worst" ;. Bell présente le rapport du chantre avec son père en tant que différences d'Oedipe, du chantre avec Kronecker comme querelle entre deux folies de juifs, et de chantre en tant que désespoir romantique au-dessus de son manque de gagner l'acceptation pour ses mathématiques, et remplit image de stéréotypes. Grattan-Guinness (1971) a constaté qu'aucune de ces réclamations n'était vraie, mais ils peut être trouvé dans beaucoup de livres de la période intervenante, dû à l'absence de n'importe quel autre récit. Il y a d'autres légendes, indépendant de Cloche-y compris un qui marque le père du chantre un enfant abandonné, embarqué à St Petersburg par les parents inconnus.

Voir également

La méthode de va-et-vient du chantre de
Fonction de chantre de
Théorème de Heine-Chantre de
Médaille - récompense de chantre de par le Deutsche Mathematiker-Vereinigung en l'honneur de chantre de Georg.

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