Changement des bases

Le changement de des bases est le processus de convertir des éléments dans une base à l'autre quand tous les deux décrivent les mêmes éléments du champ fini GF ( m de de de p ).

Une base pour GF ( m de de p ) a des éléments du m . × du m un ; la matrice carrée du m peut être créée en écrivant les éléments d'une base en termes d'autre. Cette matrice peut alors être employée pour convertir n'importe quel élément individuel du champ fini dans la base alternative.

Exemple

Laisser le ∈ GF (23) de α soit une racine du primitif X du polynôme 3 + X 2 + 1. La base polynôme pour les éléments de GF (23) est

\ {1, \, d'alpha \ alpha^2 \}

et la base normale pour les éléments de GF (23) est

\ {\, \ alpha^2 \ alpha^4 d'alpha \}

Pour convertir d'une base en autre que nous écrivons

\ commencer {le bmatrix} \ alpha^4 \ \ \ alpha^2 \ \ \ alpha \ extrémité {bmatrix} = \ commencer {le bmatrix} 1 et 1 et 1 \ \ 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 \ extrémité {bmatrix} \ commencer {le bmatrix} \ alpha^2 \ \ \ \ d'alpha \ 1 \ extrémité {bmatrix}

Noter que puisque le α est une racine du X 3 + X 2 + 1 puis qui signifie α3 + α2 + 1 = 0, ou si nous nous rappelons que puisque tous les coefficients sont dans GF (2), soustraction est identique que l'addition, nous obtiennent α3 = α2 + 1. Ainsi, α4 = α3α = (α2 + 1) α = α3 + α = α2 + α + 1, et la rangée supérieure de la matrice carrée est correct.

Maintenant, n'importe quel élément dans la base polynôme peut être écrit comme élément dans la base normale. Pour convertir de la base normale en base polynôme que nous devrions créer une nouvelle matrice.

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