Champ local

Dans les mathématiques , un champ local est un type spécial de champ qui a une valeur absolue non trivial et qui est un localement rend le champ topologique compact de en ce qui concerne cette valeur absolue. Il y a deux types de base de champ local : ceux dans lesquels la valeur absolue est d'Archimède et ceux dans lesquels il est non-D'Archimède. Dans le premier cas, on appelle le champ local un le champ local d'Archimède , dans le deuxième cas, un l'appelle un le champ local non-d'Archimède . Il y a une définition équivalente du champ local non-d'Archimède donné ci-dessous. Les champs locaux surgissent naturellement dans la théorie des nombres comme accomplissements des champs globaux

La classification complète des champs locaux (jusqu'à isomorphisme ) est la suivante :
Champs locaux d'Archimède ( caractéristique zéro) : le R des vrais nombres , et le C des nombres complexes .
champs locaux Non-d'Archimède de la caractéristique zéro : Prolongements finis du adic p de _{du Q des nombres de '' p '' de -.
champs locaux Non-d'Archimède du caractéristique p : prolongements finis du champ du formel q} de _{du F de la série de Laurent (( T )) au-dessus d'un q} de _{du F du champ fini .}

Champs locaux Non-D'Archimède

Pour un champ local non-d'Archimède $F$ , les objets suivants sont très importants :
son anneau de de $des nombres entiers \ {O} de$ mathcal qui est son $fermé de la boule d'unité \ {a \ dans F : |a|\ leq 1 \}$ (il est compact),
les unités en son anneau de $de nombres entiers \ de ^ {O} mathcal \ times$ qui est son $\ {a \ dans F : |a|= 1 \}$ ,
l'idéal principal unique en son anneau du $de nombres entiers \ du mathfrak {m}$ qui est son $ouvert de boule d'unité \ {a \ dans F : |a|< 1 \}$ ,
son $k= de champ de résidu \ {O}/mathcal \ mathfrak {m}$ qui est fini (puisque c'est compact et le discret). On parle souvent de l'évaluation (discrète) de de d'un champ local non-d'Archimède. C'est un $: F \ rightarrow \ mathbb {} de R \ tasse \ {\ infty \}$ obtenu comme suit : il y a un vrai numéro 0 < le c < 1 tels que $c^ de {v (a)} =|a|\ mbox {pour tous} a \ dans F$ .

Un généralement choisit c tel que v surjects sur $\ mathbb {} de Z \ tasse \ {\ infty \}$ , et appels ceci le a normalisé l'évaluation de .

Une définition équivalente d'un champ local non-d'Archimède est que c'est un champ qui est complet en ce qui concerne une évaluation discrète et dont le champ de résidu est fini.

Exemples

le p - nombres adic : l'anneau des nombres entiers de p de _{du Q est l'anneau du p - le adic p} de _{du Z de nombres entiers. Son idéal principal est le p} de _{du Z du p et son champ de résidu est le Z / Z du p. Chaque élément différent de zéro du Q _p peut être écrit en tant que n où le u est une unité dans le p} de _{du Z et le n est un nombre entier, puis le v ( p ⁿ de ^{du p du u de u ) = le n pour l'évaluation normale.}}

la série de Laurent formelle au-dessus d'un champ fini : l'anneau des nombres entiers de q de _{du F (( T )) est l'anneau formel du du '' T '' du q} de _{du F de la série entière . Son idéal principal est ( T ) (c. la série entière dont la limite constante est zéro) et son champ de résidu est q} de _{de F . Son évaluation normale est liée au degré (inférieur) d'une série de Laurent formelle comme suit : $v \ ^ laissé (\ sum_ {i=-m} \ a_iT^i \ droit infty) = - m$ (où un _{&minus de ; le m} est différent de zéro).}

La série de Laurent formelle au-dessus des nombres complexes est le pas par champ local. Par exemple, son champ de résidu est /( T ) du le '' T '' de du C = le C , qui n'est pas fini.

Voir également

théorie des champs locale de classe
Principe de Hasse de

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