Champ de pente

Dans les mathématiques , un champ de pente de est un outil graphique à visualiser qualitativement, ou aide dans l'approximation numérique de, des solutions aux équations .

Définition

Donné un système des équations, $de\; \backslash \; =f\; du\; frac\; \{du\}\; \{décollement\}\; (t,\; u,\dots \; y,$ $ de\; de$$$
de z) \ cdots \ =j de frac {Dy} {décollement} (t, u,… y, $z)$ \ =k de frac {DZ} {décollement} (t, u,… y, z) le champ de pente est un choix de marques de pente dans l'espace de phase (les équations précédentes impliquent sept dimensions, mais peuvent être tout nombre selon le nombre de variables appropriées ; par exemple, deux dans le cas d'une ODE linéaire de premier ordre , comme vu vers la droite). Chaque marque de pente est centrée à un point (t, u,… y, z) et est parallèle au $de\; de\; vecteur\; \backslash \; commence\; \{pmatrix\}\; 1\; \backslash \; \backslash \; f\; (t,\; u,\dots \; y,\; z)\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; cdots\; \backslash \; j\; (t,\; u,\dots \; y,\; z)\; \backslash \; \backslash \; k\; (t,\; u,\dots \; y,\; z)\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$. Le nombre, la position, et la longueur de marques de pente peuvent être arbitraires. Les positions sont habituellement choisies comme (t, u,… y, z)= (aΔt, bΔu,… eΔy, fΔz) pour (mais habituellement égale) Δt arbitraire, Δu,… Δy, et Δz, et pour tous les nombres entiers a, b,… e, et f qui produisent des points dans le t choisi, u,… des intervalles de y, et de z. La longueur des marques de pente n'est habituellement uniforme partout, et unitaire ou pas plus grande que les mineurs de Δt, Δu,… Δy, et Δz.

Application générale

Avec des ordinateurs, des champs de pente compliqués peuvent être rapidement faits sans longueur, et ainsi une application tout récemment pratique est de les employer simplement pour obtenir la sensation pour quelle solution devrait être avant qu'une solution générale explicite soit cherchée. Naturellement, les ordinateurs peuvent également juste résoudre pour un, s'ils existent.

S'il n'y a aucune solution générale explicite, les ordinateurs peuvent employer des champs de pente (même si ils ne sont pas montrés) pour trouver numériquement les solutions graphiques. Les exemples de telles routines sont la méthode d'Euler de , ou meilleur, les méthodes de Runge-Kutta de .

Voir également

Exemples de des équations
Équations de de la physique mathématique
Équations de de la physique extérieure
Le Laplace transforment appliqué aux équations
Liste de des matières de systèmes dynamiques et d'équations

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