Cayley transforment

Dans les mathématiques , le Cayley transforment , baptisé du nom de Arthur Cayley , a un faisceau des significations relatives. Comme à l'origine décrit près, le Cayley transforment est une cartographie entre les matrices biaiser-symétriques et les matrices orthogonales spéciales . Dans l'analyse complexe , le Cayley transforment est une cartographie isogone dans laquelle l'image du moitié-avion complexe supérieur est le disque d'unité. Et dans la théorie des espaces de Hilbert que le Cayley transforment est une cartographie entre les opérateurs linéaires .

Carte de Matrix

Parmi les matrices carrées du n de × du n au-dessus des reals , avec le I la matrice d'identité, a laissé le A être n'importe quelle matrice Biaiser-symétrique (de sorte que A ^T  ; = A de −). Puis   du I ; +  ; Le A est le inversible, et le Cayley transforment $de$

Q = (I - A) (I + A)^ {- 1} \, \ !

produit une matrice orthogonale , le Q de (de sorte que   de Q de Q ^T ; = I ). En fait, le Q doit avoir la cause déterminante +1, est ainsi orthogonal spécial. Réciproquement, laisser le Q être n'importe quelle matrice orthogonale qui n'a pas −1 comme valeur propre ; puis $de$

A = (I - Q) (I + Q)^ {- 1} \, \ !

est biaisent-symmetrix la matrice. La condition sur le Q exclut automatiquement des matrices avec −1 déterminant, mais exclut également certaines matrices orthogonales spéciales. Quelques auteurs emploient un " placé au-dessus ; c" ; pour dénoter ceci transformer, en écrivant le   du Q ; =   du A ^c et du A ; = Q ^c.

Cette version du Cayley transforment est son propre inverse fonctionnel, de sorte que   du A ; = ( A ^c) ^c et   du Q ; = ( Q ^c) ^c. Une forme légèrement différente est également vue, exigeant différents tracés dans chaque direction (et laissant tomber la notation placée au-dessus) : le $de$

\ commencent {aligner} Q et {} = (I - A)^ {- 1} (I + A) \ \ A et {} = (Q - I) (Q + I)^ {- 1} \ extrémité {aligner}

Les tracés peuvent également être écrits avec l'ordre des facteurs renversés ; cependant, le A permute toujours avec (&mu ;   du I ; ±  ; Le A ) ⁻¹, ainsi le réarrangement n'affecte pas la définition.

Exemples

Dans le cas 2×2, nous avons le $de\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; 0\; et\; \backslash \; 2\}\; \backslash \; de\; tan\; \backslash \; frac\; \{\backslash thêta\}\; \{\backslash \; -\; \backslash \; tan\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; thêta\}\; \{2\}\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; \backslash \; lrarr\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; bmatrix\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; et\; -\; \backslash \; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; et\; de\; péché\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$ La matrice de la rotation 180°, le I de −, est exclue, bien que ce soit la limite comme tan  ; ^{&theta ;} &frasl ; ₂ va à l'infini.

Dans le cas 3×3, nous avons le $de\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; 0\; et\; z\; et\; -\; \backslash \; de\; y\; \backslash \; -\; z\; et\; 0\; et\; \backslash \; de\; x\; \backslash \; y\; et\; -\; x\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; \backslash \; lrarr\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\}\; \backslash \; commencer\; \{le\; bmatrix\}\; w^2+x^2-y^2-z^2\; et\; 2\; (y-w\; de\; x\; z)\; et\; 2\; (\backslash \; de\; W\; y+x\; z)\; \backslash \; 2\; (+w\; de\; x/y\; z)\; et\; w^2-x^2+y^2-z^2\; et\; 2\; (\backslash \; de\; y\; ZW\; x)\; \backslash \; 2\; (x\; ZW\; y)\; et\; 2\; (W\; x+y\; z)\; et\; w^2-x^2-y^2+z^2\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\},$

là où   du K ; =  ; W ²  ; +  ; X ²  ; +  ; y ²  ; +  ; z ², et où   du W ; =  ; 1. Ceci que nous identifions comme matrice de rotation correspondant au Quaternion $de$

W + \ "BOLD" {I} x + \ "BOLD" {j} y + \ {k} z "BOLD" \, \ !

(par une formule Cayley avait édité l'année avant), excepté mesuré de sorte que   du W ; = 1 au lieu de la graduation habituelle de sorte que W ²  ; +  ; X ²  ; +  ; y ²  ; +  ; z ²  ; =  ; 1. Ainsi le vecteur ( X , y , z ) est l'axe d'unité de la rotation mesuré par le tan  ; ^{&theta ;} &frasl ; ₂. De nouveau exclues sont les rotations 180°, qui sont dans ce cas-ci tout le Q qui sont le symétrique (de sorte que Q ^T  ; = Q ).

D'autres matrices

Nous pouvons prolonger la cartographie aux matrices complexes du en substituant le " ; " unitaire du ; pour le " ; orthogonal" ; et " ; " biaiser-Hermitien du ; pour le " ; biaiser-symmetric" ; , la différence étant que la transposition (·^T) est remplacé par le conjugé de transpose (·^H). C'est compatible à remplacer le produit intérieur de vrai standard par le produit intérieur complexe standard. En fait, nous pouvons prolonger la définition plus loin avec des choix de Adjoint autres que transposons ou le conjugé transposent.

Formellement, la définition exige seulement un certain invertibility, ainsi nous pouvons substituer au Q n'importe quel M de matrice dont les valeurs propres n'incluent pas −1. par exemple, nous avons le $de\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; \backslash \; de\; 0\; et\; -a\; etab\; -\; de\; c\; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; -\; \backslash \; de\; b\; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 0\; \backslash \; extrémité\; \{le\; bmatrix\}\; \backslash \; lrarr\; \backslash \; commencer\; \{bmatrix\}\; 1\; et\; 2a\; et\; 2c\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 1\; et\; 2b\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; 0\; et\; 1\; \backslash \; extrémité\; \{bmatrix\}.$ Nous remarquons que le A est biaiser-symétrique (respectivement, biaiser-Hermitien) si et seulement si le Q est orthogonal (respectivement, unitaire) sans la valeur propre −1.

Carte isogone

Dans l'analyse complexe , le Cayley transforment est un traçant du plan complexe à lui-même, donné près

$\backslash \; operatorname\; \{\}\; de\; W\; \backslash \; deux\; points\; z\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; frac\; \{z\; \backslash \; "BOLD"\; \{I\}\}\; \{z+\; \backslash \; "BOLD"\; \{I\}\}.$

C'est une transformation partielle linéaire , et peut être prolongée à un automorphisme de la sphère de Riemann (le plan complexe augmenté avec un point à l'infini).

De note particulière sont les faits suivants :

W trace le plan supérieur du du C conformally sur le disque d'unité du C .
W trace la vraie ligne Injectively du R dans le T (nombres complexes du cercle d'unité de valeur absolue 1). L'image du R est le T 1 étant coupé.
W trace le &infin imaginaire supérieur de du i d'axe ;) bijectively sur le semi-ouvert d'intervalle [−1, +1).
W trace le point à l'infini à 1.
W trace le i de − au point à l'infini (ainsi au W a un poteau au i de −).
W trace −1 au i .
W trace les deux ¹&frasl ; ₂ (−1  ; +  ; &radic ; 3) (−1  ; +  ; i ) et ¹&frasl ; ₂ (1  ; +  ; &radic ; 3) (1  ; −  ; i ) à lui-même.

Carte d'opérateur

Une version infini-dimensionnelle d'un espace de produit intérieur de est un espace de Hilbert , et nous pouvons plus ne parler des matrices . Cependant, les matrices sont simplement des représentations des opérateurs linéaires et ceux-ci que nous avons toujours. Ainsi, généralisant la matrice traçant et le plan complexe traçant, nous pouvons définir un Cayley transformons des opérateurs. le $de\; \backslash \; commencent\; \{aligner\}\; U\; et\; \{\}\; =\; (A\; -\; \backslash \; \{I\}\; I)\; "BOLD"\; (A\; +\; \backslash \; \{I\}\; \backslash \; "BOLD"\; d\text{'}I)^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; A\; et\; \{\}\; =\; \backslash \; "BOLD"\; \{I\}\; (I\; +\; U)\; (I\; -\; U)^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; extrémité\; \{aligner\}$ Ici le domaine du U , dom  ; Le U , est ( A + I de i )   ; dom  ; A . Voir l'opérateur d'individu-adjoint de pour d'autres détails.

Voir également

Le bilinéaire transforment
prolongements des opérateurs symétriques

.

Random links:

Août (album) | HMS Marlborough (F233) | Joonas Kokkonen | Cayley_transforma

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