Carte logistique

La carte logistique est une cartographie polynôme du , souvent citée comme exemple archétypal de la façon dont le complexe, comportement chaotique du peut résulter des équations dynamiques non linéaires du très simple . La carte a été popularisée dans un papier séminal du 1976 par le Robert mai de biologiste, en partie en tant qu'analogue modèle démographique de temps discret à l'équation logistique d'abord créée par le Pierre François Verhulst . Mathématiquement, la carte logistique est écrite le x_ du $de (1) \ qquad {n+1} = le x_n de r (1-x_n)$ là où : le
$x_n$ de
est un nombre entre zéro et un, et représente la population au n d'année, et par conséquent le X ₀ représente le initial r population (à année 0) est un nombre positif, et représente un taux combiné pour la reproduction et la famine. Cette équation à différences non linéaire est prévue pour capturer deux effets.
reproduction où la population grimpera à un proportionnel de taux jusqu'à la population courante quand la taille de population est petite.
famine (mortalité densité-dépendante) où le taux de croissance diminuera à un taux proportionnel à la valeur obtenue en prenant le " théorique ; capacity" de transport ; de l'environnement moins la population courante.

Cependant, car un modèle démographique la carte logistique a le problème pathologique que quelques états d'initiale et valeurs de paramètre mènent aux tailles négatives de population. Ce problème n'apparaît pas dans le plus ancien Ricker modèle, qui montre également la dynamique chaotique.

Personne à charge de comportement sur le r

En variant le r de paramètre, on observe le comportement suivant :
Avec le r entre 0 et 1, la population mourra par la suite, indépendant de la population initiale.
Avec le r entre 1 et 2, la population stabilisera rapidement sur le de valeur

de   \ frac {r-1} {r}

, indépendant de la population initiale.
Avec le r entre 2 et 3, la population stabilisera également par la suite sur le même de valeur le

de   \ frac {r-1} {r}

, mais oscille d'abord autour de cette valeur pendant quelque temps. Le taux de de la convergence est linéaire, excepté le r =3, quand il est nettement lent, moins que linéaire.
Avec le r entre 3 et

1+ \ racine carrée {6}

(approximativement 3.45), la population peut osciller entre deux valeurs pour toujours. Ces deux valeurs dépendent du r .
Avec le r entre 3.54 (approximativement), la population peut osciller entre quatre valeurs pour toujours.
Avec le r légèrement plus grand que 3.54, la population oscillera probablement entre 8 valeurs, puis 16, 32, etc. Les longueurs des intervalles de paramètre qui rapportent le même nombre d'oscillations diminuent rapidement ; le rapport entre les longueurs de deux successifs de tels intervalles de bifurcation approche le δ de Feigenbaum = le 4.669

\ dots

constants. Ce comportement est un exemple d'une cascade de période-doublement .
Au r approximativement 3.57 est le début du chaos, à l'extrémité de la cascade de période-doublement. Nous pouvons plus ne voir aucune oscillation. Les légères variations de la population initiale donnent nettement les différents résultats avec le temps, une caractéristique principale de chaos.
La plupart des valeurs au delà du comportement chaotique de 3.57 objets exposés, mais là sont valeurs d'isolement encore certaines du r qui semblent montrer le comportement non-chaotique ; celles-ci s'appellent parfois les îles de de la stabilité . Par exemple, commencer à

1+ \ à racine carrée {8}

(approximativement 3.83) il y a une gamme du r de paramètres qui montre l'oscillation entre trois valeurs, et pour des valeurs légèrement plus élevées de l'oscillation du r entre 6 valeurs, puis 12 etc. Il y a d'autres gammes qui rapportent l'oscillation entre 5 valeurs etc. ; toutes les périodes d'oscillation se produisent.
Au delà du r = 4, les valeurs par la suite laissent l'intervalle et divergent pour presque toutes les valeurs initiales.

Un diagramme de bifurcation de récapitule ceci. L'axe horizontal montre les valeurs du r de paramètre tandis que l'axe vertical montre les valeurs à long terme possibles du X .

Le diagramme de bifurcation est une fractale : si vous bourdonnez dedans sur le mentionné ci-dessus r de valeur = 3.82 et vous concentrez sur un bras des trois, la situation tout près ressemble à une version rétrécie et légèrement tordue du diagramme entier. Le même est vrai pour tous autres points non-chaotiques. C'est un exemple du raccordement profond et omniprésent entre le chaos et les fractales.

Un manuscrit de l'octave de GNU de pour produire du de diagrammes de bifurcation est disponible.

Chaos et la carte logistique

La simplicité relative de la carte logistique lui transforme un excellent point d'entrée en considération du concept du chaos. Une description approximative de chaos est que les systèmes chaotiques montrent une grande sensibilité pour parafer des conditions -- une propriété de la carte logistique pour la plupart des valeurs du r entre environ 3.57 et 4 (comme remarquable ci-dessus). Une source commune d'une telle sensibilité aux conditions initiales est que la carte représente un pliage et un étirage répétés de l'espace sur lequel il est défini. Dans le cas de la carte logistique, l'équation à différences quadratique de du (1) la décrivant peut être considérée comme opération étirer-et-se pliante sur l'intervalle (0.

La figure suivante montre l'étirage et repliant un ordre de réitère de la carte. Figure (a), gauche, donne un diagramme de phase bidimensionnel de la carte logistique pour le r =4, et montre clairement la courbe quadratique de l'équation à différences (1). Cependant, nous pouvons enfoncer le même ordre dans un espace de phase tridimensionnel, afin d'étudier la structure plus profonde de la carte. Figure (b), droite, démontre ceci, en montrant comment au commencement les points voisins commencent à diverger, en particulier dans ces régions du t de _{du X correspondant aux sections plus raides de la parcelle de terrain.}

Ce étirer-et-se plier ne produit pas simplement une divergence progressive des ordres de réitère, mais une divergence exponentielle (voir les exposants de Lyapunov de , démontrés également par la complexité et l'imprévisibilité de la carte logistique chaotique. En fait, la divergence exponentielle des ordres de réitère explique le raccordement entre le chaos et l'imprévisibilité : une petite erreur dans l'état initial supposé du système tendra à correspondre à une grande erreur plus tard dans son évolution. Par conséquent, les prévisions au sujet des états futurs s'aggravent progressivement (en effet, exponentiellement ) quand il y a même des erreurs très petites dans notre connaissance de l'état initial.

Puisque la carte est confinée à un intervalle sur la ligne de vrai nombre, sa dimension est inférieur ou égal à unité. Les évaluations numériques rapportent une dimension de corrélation de de 0.005 (Grassberger, 1983), une dimension de Hausdorff de environ de 0.538 (Grassberger 1981), et une dimension de l'information de de 0.5170976… (Grassberger 1983) pour r=3.5699456… (début de chaos). Note : Il peut montrer que la dimension de corrélation est certainement entre 0.

Il est souvent possible, cependant, pour faire des rapports précis et précis au sujet de la probabilité de d'un état futur dans un système chaotique. Si le système dynamique d'a (probablement chaotique) a un Attractor , alors là existe une mesure de probabilité qui donne la proportion de longue durée de temps dépensée par le système dans les diverses régions de l'attractor. Dans le cas de la carte logistique avec le de paramètre ; r = 4 ; et un premier état dedans (0.1), l'attractor est également l'intervalle (0.1) et la mesure de probabilité correspond à la bêta distribution au de paramètres ; = 0.5 ; et ; b = 0. L'imprévisibilité n'est pas aspect aléatoire, mais dans des sembler de quelques circonstances infiniment comme elle. Par conséquent, et heureusement, même si nous savons très peu au sujet de l'état initial de la carte logistique (ou d'un autre système chaotique), nous pouvons encore dire quelque chose au sujet de la distribution des états un long temps dans le futur, et employons cette connaissance pour informer les décisions basées sur l'état du système.

Voir également

Modèle Malthusian de croissance de
Théorie de chaos de
Liste de des cartes chaotiques
Fonction logistique
Le radial article du réseau de fonction de base cet illustre le problème inverse pour la carte logistique.
Stabilité de Lyapunov de pour les systèmes réitérés

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