Carte isogone

Dans les mathématiques , une carte isogone est une fonction qui préserve des angles.

Plus formellement, une carte W de

= f ( z )

s'appelle le isogone (ou le de maintien des angles) au z ₀, s'il préserve les angles orientés entre les courbes au z ₀, aussi bien que leur orientation , c. Les cartes isogones préservent des angles et les formes des figures infinitésimal petites, mais pas nécessairement de leur taille.

La propriété isogone peut être décrite en termes de matrice dérivée de Jacobian d'une transformation de coordonnée de . Si la matrice de Jacobian de la transformation est partout des périodes scalaires une matrice de rotation, alors la transformation est isogone.

Analyse complexe

Une famille importante des exemples des cartes isogones vient de l'analyse complexe . Si le U est un ouvrir le sous-ensemble du plan complexe ,

\ mathbb {C}

, puis une fonction de

$f: U \ rightarrow \ mathbb {C}$

est le isogone si et seulement si il est le holoèdre et son dérivé est partout différent de zéro sur le U . Si le f est le antiholomorphic (c'est-à-dire, le conjugé à une fonction holoèdre), il préserve toujours des angles, mais il renverse leur orientation.

Le Riemann traçant le théorème , un des résultats profonds de l'analyse complexe, déclare que n'importe quel sous-ensemble approprié simplement relié ouvert non vide du de $\ de mathbb {C}$ admet une carte isogone bijective du au disque d'unité ouvert dans le $\ mathbb {C}$ .

Une carte du prolongé du plan complexe (qui de est conformally équivalent à une sphère) sur elle-même est isogone si et seulement si c'est une transformation de Möbius de . Encore, parce que le conjugé , angles de sont préservés, mais l'orientation est renversée.

Un exemple de ce dernier prend le réciproque du conjugé, qui correspond à l'inversion de cercle de en ce qui concerne le cercle d'unité. Ceci peut également être exprimé en tant que prise du réciproque de la coordonnée radiale en coordonnées circulaires , gardant l'angle les mêmes. Voir également la géométrie inversive .

La géométrie Riemannian

La géométrie isogone Dans la géométrie Riemannian , deux le Riemannian g de la métrique et le h sur le divers doux M s'appellent le conformally équivalent si le g=uh de pour un certain positif de fonction u sur le M . Le u de fonction s'appelle le facteur isogone .

Un Diffeomorphism entre deux tubulures Riemannian s'appelle une carte isogone si retiré le métrique est conformally équivalent à l'original.

On peut également définir une structure conforme sur une tubulure douce, comme classe de la métrique Riemannian conformally équivalent

Par exemple, la projection stéréographique d'une sphère sur l'avion augmenté avec un point de à l'infini est une carte isogone.

l'espace euclidien Haut-dimensionnel

N'importe quelle carte isogone sur une partie de l'espace euclidien de la dimension plus considérablement que 2 peut se composer de trois types de transformation : une transformation homothétique , un Isometry , et une transformation isogone spéciale. (" d'A ; transformation" isogone spécial ; est la composition d'une réflexion et une inversion de dans une sphère .) Ainsi, le groupe de transformations isogones dans les espaces de la dimension plus considérablement que 2 sont beaucoup plus restreint que le cas planaire, où le Riemann traçant le théorème fournit un grand groupe de transformations isogones.

Utilisations

Si une fonction est le harmonique (c'est-à-dire, elle satisfait le

de \ nabla^2 f=0

) au-dessus d'un espace particulier, et est transformée par l'intermédiaire d'une carte isogone à un autre espace, la transformation est également harmonique. Pour cette raison, n'importe quelle fonction qui est définie par un potentiel peut être transformée par une carte isogone et demeurent toujours régie par un potentiel. Les exemples dans la physique des équations définies par un potentiel incluent le champ électromagnétique , le champ gravitationnel , et, dans la dynamique des fluides , l'écoulement potentiel , qui est une approximation à la densité constante arrogante de flux de fluide, à la viscosité nulle , et à l'écoulement irrotationnel . Un exemple d'une application dynamique liquide d'une carte isogone est le Joukowsky transforment .

L'importance des transformations isogones pour l'électromagnétisme a été mise en évidence par le Harry Bateman en 1910.

Les tracés isogones sont de valeur inestimable pour résoudre des problèmes dans la technologie et la physique qui peut être exprimée en termes de fonctions d'une variable complexe mais qui exhiber les géométries incommodes. En choisissant une cartographie appropriée, l'analyste peut transformer la géométrie incommode en beaucoup plus commode. Par exemple, on peut être désireux de calculer le champ électrique, le $E (z),$ résultant d'une charge de point située près du coin de deux avions de conduite séparés par un certain angle (où $z$ est la coordonnée complexe d'un point dans l'espace 2). Ce intrinsèquement de problème est tout à fait maladroit pour résoudre dans la forme close. Cependant, en utilisant une cartographie isogone très simple, l'angle incommode est tracé avec un avec précision de radians de pi, signifiant que le coin de deux avions est transformé à une ligne droite. Dans ce nouveau domaine, le &mdash de problème ; que de calculer le champ électrique appliqué par une charge de point a placé près d'un &mdash de conduite de mur ; il est tout à fait facile résoudre. La solution est obtenue en ce domaine, le $E (w),$ et alors tracé de nouveau au domaine original en notant que $w$ a été obtenu comme fonction ( à savoir , la composition de $E$ et $w$ ) de $z,$ d'où $E (w)$ peut être regardé comme $E (W (z)),$ qui est une fonction de $z,$ la base du même rang originale. Noter que cette application n'est pas une contradiction au fait que les tracés isogones préservent des angles, ils font ainsi seulement pour des points à l'intérieur de leur domaine, et pas à la frontière.

Angles alternatifs

« Une carte isogone » s'appelle cela parce qu'elle se conforme au principe de l'angle-conservation . La présomption souvent est que l'angle étant préservé est l'angle euclidien standard, indique paramétrisé en degrés ou radians. Cependant, dans l'avion traçant il y a deux autres angles à considérer : l'angle hyperbolique et l'angle galiléen , qui de est familier comme pente ont employé dans la géométrie analytique élémentaire. Supposer f : U--le >V est une cartographie des surfaces paramétrisées près ( X, y ) et ( u, v ). La matrice de Jacobian de f est constituée par les quatre dérivés partiels du u et du v en ce qui concerne le X et le y . Si le Jacobian a un différent de zéro déterminant, alors f est « isogone dans le sens généralisé » en ce qui concerne un des trois types d'angle, selon la vraie matrice exprimée par le Jacobian.

Voir également

La géométrie isogone
Diagramme de Penrose de

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