Carte de gauss

Dans la géométrie différentielle , la carte de gauss de (baptisé du nom de gauss de Karl F. de ) trace une surface dans le R ³ de l'espace euclidien au S ² de la sphère d'unité. À savoir, donné un extérieur X se situant dans le R ³, la carte de gauss est un continu N de carte : S ² de → du X tels que le N ( p ) est un vecteur d'unité orthogonal au X au p , à savoir le vecteur normal au X au p .

La carte de gauss peut être définie (globalement) si et seulement si la surface est Orientable , mais elle est toujours définie localement (c. sur un petit morceau de la surface). La cause déterminante de Jacobian de la carte de gauss est égale à la courbure gaussienne , et le différentiel de la carte de gauss s'appelle l'opérateur de forme .

Le gauss la première fois a écrit une ébauche sur la matière en 1825 et a édité en 1827.

Il y a également une carte de gauss pour un lien, qui calcule le liant le nombre .

Généralisations

La carte de gauss peut être définie pour les hypersurfaces dans le n de ^{du R comme carte d'une hypersurface au &minus du n de ^{du S de sphère d'unité ; n} de ^{du R du ∈ 1}.}

Pour un orienté général k - le Submanifold du n de ^{du R que la carte de gauss peut être également soit défini, et son espace de cible est le Grassmannian de orienté par _ de $\ tilde {G} {k, n}$ , c. l'ensemble de tout le orienté k - avions dans le n} de ^{du R . Dans ce cas-ci un point sur le submanifold est tracé à son sous-espace orienté de tangente. On peut également tracer à son sous-espace normal orienté du ; ceux-ci sont équivalent en tant que $\ tilde {G} _ {k,} de n \ cong \ _ du tilde {G} {n-k, n}$ par l'intermédiaire de complément orthogonal. Dans le 3 euclidiens espacent , ceci indique qu'un avion 2 orienté est caractérisé par une 1 ligne orientée, d'une manière equivalente un vecteur normal d'unité (en tant que $\ tilde {G} _ {1,} de n \ cong S^ {n-1}$ ), par conséquent c'est compatible à la définition ci-dessus.}

En conclusion, la notion de la carte de gauss peut être généralisée à un orienté X de submanifold du de dimension k dans un Riemannian orienté M de la tubulure ambiant du n de dimension. Dans ce cas, la carte de gauss va alors du X à l'ensemble de k - avions de tangente dans le TM du paquet de tangente de . L'espace de cible pour le N de carte de gauss est un paquet de Grassmann de établi sur le TM de paquet de tangente. Dans le cas où le $M= \ mathbf {R} ^n$ , le paquet de tangente trivialized (ainsi le paquet de Grassmann devient une carte au Grassmannian), et nous récupérer la définition précédente.

Courbure totale

Le secteur de l'image de la carte de gauss s'appelle la courbure de total de et est équivalent à la surface intégral de de la courbure gaussienne . C'est l'interprétation originale donnée par Gauss. Le théorème de Gauss-Capot de lie la courbure totale d'une surface à ses propriétés topologiques du . $\ iint_R de |N_u \ périodes N_v| \ du \, = de dv \ iint_R K|X_u \ périodes X_v| \ du \, = de dv \ iint_R K \ dA$

Tranchants de la carte de gauss

La carte de gauss reflète beaucoup de propriétés de la surface : quand la surface a la courbure gaussienne nulle, (qu'est à dire suivant une ligne parabolique) la carte de gauss aura une catastrophe de pli de . Ce pli peut contenir les tranchants et ces tranchants étaient détaillés étudié par le Thomas Banchoff , le Terence Gaffney et le Clint McCrory . Les deux lignes et tranchant paraboliques sont des phénomènes stables et demeureront sous de légères déformations de la surface. Les tranchants se produisent quand : La surface a un

d'avion de Bi-tangente Une arête croise une ligne parabolique

à la fermeture de l'ensemble de points d'inflexion des courbes asymptotiques de la surface. Il y a deux types du tranchant elliptique tranchant et de tranchants hyperboliques de .

Random links: