Cardinal inaccessible

Dans la théorie des ensembles , un nombre cardinal régulier incomptable du s'appelle le faiblement inaccessible si c'est une limite faible cardinal de , et le fortement inaccessible, ou juste le inaccessible, si c'est une limite forte cardinal de . Quelques auteurs n'ont pas besoin des cardinaux faiblement et fortement inaccessibles à être incomptables.

Chaque cardinal fortement inaccessible est également faiblement inaccessible, car chaque cardinal fort de limite est également un cardinal faible de limite. Si le généralisait des prises de l'hypothèse de continuum, alors un cardinal est fortement inaccessible si et seulement si elle est faiblement inaccessible.

le $\ aleph_0$ ( aleph-nul) est un cardinal fort régulier de limite. Assumant l'axiome de du choix , chaque autre nombre cardinal infini est militaire de carrière ou limite (faible) d'a. Cependant, seulement un nombre cardinal plutôt grand peut être tous deux et ainsi faiblement inaccessible.

Un qu'ordinal est un cardinal faiblement inaccessible si et seulement s'il est un ordinal régulier et lui est une limite des nombres ordinaux réguliers. (Zéro, un, et $\ aleph_0$ sont des nombres ordinaux réguliers, mais pas des limites des nombres ordinaux réguliers.) Un cardinal qui est faiblement inaccessible et également un cardinal fort de limite est fortement inaccessible.

L'acceptation de l'existence d'un cardinal fortement inaccessible est parfois appliquée sous forme de prétention qu'on peut fonctionner à l'intérieur d'un univers de Grothendieck de , les deux idées étant intimement reliées.

Modèles et uniformité

Le ZFC implique que le V _κ est un modèle de ZFC toutes les fois que le κ est fortement inaccessible. Et ZF implique que le L _κ de l'univers de Gödel de est un modèle de ZFC toutes les fois que le κ est faiblement inaccessible. Ainsi ZF ainsi que le " ; là existe un cardinal" faiblement inaccessible ; implique que ZFC est conformé. Par conséquent, les cardinaux inaccessibles sont un type de grand cardinal .

Supposer que V est un modèle de ZFC. Ou V ne contient aucun inaccessible fort ou, prenant le κ pour être le plus petit inaccessible fort dans V, le V _κ est un modèle standard de ZFC qui ne contient aucun inaccessibles fort. Ainsi l'uniformité de ZFC implique l'uniformité de ZFC+" ; il n'y a aucun inaccessibles" fort ;. De même, V ne contient aucun inaccessible faible ou, prenant le κ pour être le plus petit nombre ordinal qui est faiblement inaccessible relativement à n'importe quel sous-modèle standard de V, puis L _κ est un modèle standard de ZFC qui ne contient aucun inaccessibles faible. Ainsi l'uniformité du ZFC implique l'uniformité de ZFC+" ; il n'y a aucun inaccessibles" faible ;.

Si le V est un modèle standard de ZFC et le κ est un inaccessible dans le V , puis : Le V _κ est l'un des modèles prévus de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel de ; et Def ( V _κ) est l'un des modèles prévus de la théorie des ensembles de Von Neumann-Bernays-Gödel de ; et le V _κ+1 est l'un des modèles prévus de la théorie des ensembles de Morse-Kelley de . Ici Def ( X ) est les sous-ensembles définissables de Δ₀ de X (voir l'univers construtible ).

Existence d'une classe appropriée des inaccessibles

Il y a beaucoup d'axiomes importants dans la théorie des ensembles qui affirment l'existence d'une classe appropriée des cardinaux qui satisfont un attribut d'intérêt. Dans le cas d'inaccessibilité, l'axiome correspondant est l'affirmation qui pour chaque μ cardinal, il y a un κ cardinal inaccessible qui est strictement plus grand, μ < κ. Ainsi cet axiome garantit l'existence d'une tour infinie des cardinaux inaccessibles (et peut de temps en temps désigné sous le nom de l'axiome cardinal inaccessible). De même que le point de droit pour l'existence de n'importe quel cardinal inaccessible, l'axiome cardinal inaccessible est indépendant des axiomes de ZFC. ZFC supposant, l'axiome cardinal inaccessible est équivalent à l'axiome d'univers de du Grothendieck et du Verdier : chaque ensemble est contenu dans un univers de Grothendieck de . Les axiomes de ZFC avec l'axiome d'univers (ou d'une manière equivalente l'axiome cardinal inaccessible) sont ZFCU dénotés (qui pourraient être confondus avec ZFC avec des urelements). Ce système axiomatique est utile pour prouver par exemple que chaque catégorie a un approprié Yoneda enfoncer .

C'est un grand axiome cardinal relativement faible puisqu'il s'élève à dire que le ∞ est 1 inaccessible dans la langue de la prochaine section, où le ∞ dénote moins l'ordinal pas dans V, c. la classe de tous les nombres ordinaux dans votre modèle.

cardinaux α-inaccessibles et cardinaux hyper-inaccessibles

Un κ cardinal est le α-inaccessible, pour le nombre ordinal de α, si et seulement si le κ est inaccessible et pour chaque β < α ordinaux, l'ensemble de β-inaccessibles moins que le κ est illimité dans le κ (et ainsi du κ de cardinalité, puisque le κ est régulier).

Les cardinaux inaccessibles peuvent être d'une manière equivalente décrits en tant que points fixes des fonctions qui comptent les inaccessibles inférieurs. Par exemple, dénoter par ψ₀ (λ) le cardinal inaccessible de λ^th, puis les points fixes de ψ₀ sont les cardinaux 1 inaccessibles. En laissant alors ψ_β (λ) être le cardinal de λ^th β-inaccessible, les points fixes de ψ_β sont (β+1) - les cardinaux inaccessibles (les valeurs ψ_β+1 (λ)). Si le α est un nombre ordinal de limite, un α-inaccessible est un point fixe de chaque ψ_β pour le β < le α (la valeur ψ_α (λ) est le λ^th un tel cardinal). Ce processus d'accepter les points de vue fixes des fonctions produisant des cardinaux successivement plus grands est généralement produit dans l'étude des grands nombres cardinaux .

Un κ cardinal est le hyper-inaccessible si et seulement si le κ est κ-inaccessible. (Ce peut ne jamais être κ+1-inaccessible.)

Pour n'importe quel α ordinal, un κ cardinal est le α-hyper-inaccessible si et seulement si le κ est hyper-inaccessible et pour chaque β < α ordinaux, l'ensemble de β-hyper-inaccessibles moins que le κ est illimité dans le κ.

Using le " ; faiblement inaccessible" ; au lieu du " ; inaccessible" ; , des définitions semblables peuvent être faites pour le " ; faiblement α-inaccessible" ; , " ; faiblement hyper-inaccessible" ; , et " ; faiblement α-hyper-inaccessible" ;.

Voir les cardinaux de Mahlo de

Voir également

Club réglé de
Modèle intérieur
Univers de Von Neumann de
Univers construtible

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