Cardinal de Woodin

Dans la théorie des ensembles , un Woodin cardinal (appelé pour W. Hugh Woodin ) est un λ du nombre cardinal tels que pour tous f de

: &rarr de λ ; λ

là existe κ < λ de

avec { f (β)|&sube de β<κ} ; κ

et un de encastrement élémentaire j de

: &rarr du V ; M

du V dans un intérieur du modèle transitif M avec le κ du point critique et

V_{j (f) (κ) &sube de de} ; M .

Une définition équivalente est ceci : le λ est de Woodin si et seulement si le λ de est le fortement inaccessible et pour tous les $A \ subseteq V_ \ lambda$ là existe un $\ lambda_A$ < λ qui est le $< \ lambda$ - $A$ -strong.

le $\ lambda _A$ étant le $< \ lambda$ - $A$ -strong signifie que pour tous les α < λ des nombres ordinaux , là existent un $j : V \ à M$ qui est un de encastrement élémentaire avec le $du point critique \ lambda _A$ , > de $j _A (\ lambda) \ alpha$ , $V_ \ alpha \ subseteq M$ et $j (A) \ chapeau V_ \ alpha = A \ chapeau V_ \ alpha$ . (Voir également le cardinal fort .)

Un cardinal de Woodin est précédé par un ensemble stationnaire de cardinaux mesurables et c'est ainsi un Mahlo cardinal. Il n'a pas besoin d'être mesurable, cependant.

Conséquences

Les cardinaux de Woodin sont importants dans la théorie des ensembles descriptive . L'existence infiniment de beaucoup de cardinaux de Woodin implique le le determinacy que projectif , qui implique alternativement que chaque ensemble projectif est le mesurable, a la propriété de Baire de (diffère d'un ensemble ouvert par un ensemble maigre , c., un ensemble de qui est une union comptable des ensembles denses de nulle part), et la propriété parfaite d'ensemble de (est comptable ou contient un sous-ensemble parfait du ).

L'uniformité de l'existence des cardinaux de Woodin peut être prouvée using des hypothèses de determinacy. Le travail dans le ZF + ANNONCE + C.C un de peut montrer que le $\ thêta _0$ est Woodin dans la classe des ensembles par des moyens héréditaires ordinal-définissables. Le $\ thêta _0$ est le premier nombre ordinal sur lequel le continuum ne peut pas surjected (voir le Θ (théorie des ensembles) ).

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