Cardinal de Mahlo

Dans les mathématiques , un Mahlo cardinal est un certain genre de grand nombre du cardinal . Des cardinaux de Mahlo ont été décrits la première fois dans le 1911 par le Paul Mahlo du mathématicien . Comme avec tous les grands cardinaux, supposant que le ZFC est le à conformé, ce peut être prouvé par qu'aucune de ces variétés de cardinaux de Mahlo ne peut être avéré pour exister par ZFC.

Un κ du nombre cardinal s'appelle le de Mahlo de si et seulement si le κ de est le inaccessible et le réglé U = {< de λ ; κ : le λ est inaccessible} est le stationnaire dans le κ.

Un κ cardinal est faiblement Mahlo si et seulement si le κ est faiblement inaccessible et l'ensemble de cardinaux faiblement inaccessibles moins que le κ est stationnaire dans le κ.

État minimal suffisamment pour un cardinal de Mahlo

si le κ est un ordinal de limite et l'ensemble de nombres ordinaux réguliers moins que le κ est stationnaire dans le κ, puis le κ est faiblement Mahlo.

La difficulté principale en prouvant ceci est de prouver que le κ est régulier. Nous supposerons que ce n'est pas militaire de carrière et construire un club réglé de qui nous donne un μ tels que : μ de = Cf (μ) < Cf (κ) < μ < κ qui est une contradiction. Si le κ n'étaient pas régulier, puis des Cf (κ) < κ. Nous pourrions choisir strictement une augmentation et un Cf continu (κ) - l'ordre qui commence par des Cf (κ) +1 et a le κ en tant que sa limite. Les limites de cet ordre seraient club dans le κ. Donc il doit y a un μ régulier parmi ces limites. Ainsi le μ est une limite d'un premier subsequence des Cf (κ) - ordre. Ainsi son cofinality est moins que le cofinality du κ et plus grand que lui en même temps ; ce qui est une contradiction. Ainsi la prétention que le κ n'est pas régulier doit être fausse, c.

Aucun ensemble stationnaire ne peut exister au-dessous du $\ aleph_0$ avec la propriété required parce que {2.4,…} est le club dans le ω mais ne contient aucun nombre ordinal régulier ; ainsi le κ est incomptable. Et c'est une limite régulière des cardinaux réguliers ; ainsi il est faiblement inaccessible. Alors on emploie l'ensemble de cardinaux incomptables de limite au-dessous du κ car un ensemble de club pour prouver qu'on peut assumer que l'ensemble stationnaire se compose des inaccessibles faibles.

si le κ est faiblement Mahlo et également une limite forte, puis κ est Mahlo.

le κ est faiblement inaccessible et une limite forte, ainsi il est fortement inaccessible.

Nous prouvons que l'ensemble de cardinaux forts incomptables de limite au-dessous de κ est club dans le κ. Laisser μ₀ être le plus grand du seuil et du ω₁. Pour chaque n fini, laisser μ_n+1 = 2^μ_n qui est moins que le κ parce que c'est un cardinal fort de limite. Alors leur limite est une limite forte cardinale et est moins que le κ par sa régularité. Les limites des cardinaux forts incomptables de limite sont également les cardinaux forts incomptables de limite. Ainsi l'ensemble de elles est club dans le κ. Intersecter qu'ensemble de club avec l'ensemble stationnaire de cardinaux faiblement inaccessibles moins que le κ pour obtenir un ensemble stationnaire de cardinaux fortement inaccessibles moins que le κ.

Exemple : prouvant que les cardinaux de Mahlo sont hyper-inaccessibles

Supposer que le κ est Mahlo. Nous procédons par induction transfinie sur le α prouver que le κ est α-inaccessible pour n'importe quel κ de ≤ de α. Puisque le κ est Mahlo, le κ est inaccessible ; et ainsi 0 inaccessible, qui est la même chose.

Si le κ est α-inaccessible, alors il y a des β-inaccessibles (pour le β < le α) arbitrairement près de κ. Considérer l'ensemble de limites simultanées de tels β-inaccessibles plus grand qu'un certain seuil mais moins que le κ. Il est illimité dans le κ (imaginer tourner par des β-inaccessibles pour le β < les α ω-temps choisissant un plus grand cardinal chaque fois, puis prendre la limite qui est moins que le κ par la régularité (c'est ce qui échoue si κ de ≥ de α)). Il est fermé, ainsi c'est club dans le κ. Ainsi, par le Mahlo-ness des κ, il contient un inaccessible. Cet inaccessible est réellement un α-inaccessible. Ainsi le κ est α+1-inaccessible.

Si le κ de ≤ de λ est un nombre ordinal de limite et le κ est α-inaccessible pour tout le α < λ, alors chaque β < λ est également moins que le α pour un certains α < λ. Ainsi ce cas est insignifiant. En particulier, le κ est κ-inaccessible et ainsi hyper-inaccessible.

Pour prouver que le κ est une limite d'hyper-inaccessibles et ainsi de 1 hyper-inaccessibles, nous devons prouver que l'ensemble diagonal de μ < de κ de cardinaux ce qui sont α-inaccessibles pour chaque α < μ est club dans le κ. Choisir un 0 inaccessible au-dessus du seuil, l'appeler α₀. Sélectionner alors un α₀-inaccessible, l'appellent α₁. Maintenir la répétition cette et en prenant des limites aux limites jusqu'à ce que vous atteigniez un point fixe, l'appeler μ. Alors le μ a la propriété required (étant une limite simultanée des α-inaccessibles pour tous les α < μ) et est moins que le κ par régularité. Les limites de tels cardinaux ont également la propriété, ainsi l'ensemble de eux est club dans le κ. Par Mahlo-ness de κ, il y a un inaccessible dans cet ensemble et il est hyper-inaccessible. Ainsi le κ est 1 hyper-inaccessible. Nous pouvons intersecter cet même ensemble de club avec l'ensemble stationnaire moins que le κ pour obtenir un ensemble stationnaire d'hyper-inaccessibles moins que le κ.

Le reste de la preuve que le κ est les imitateurs α-hyper-inaccessibles la preuve qu'il est α-inaccessible. Ainsi le κ est hyper-hyper-inaccessible, etc….

Plus que juste Mahlo

Un κ cardinal est α-Mahlo pour un certain α ordinal si et seulement si le κ est Mahlo et pour chaque β<α ordinal, l'ensemble de cardinaux de β-Mahlo au-dessous de κ est stationnaire dans le κ. Nous pouvons définir le " ; hyper-Mahlo" ; , " ; α-hyper-Mahlo" ; , " ; faiblement α-Mahlo" ; , " ; faiblement hyper-Mahlo" ; , " ; faiblement α-hyper-Mahlo" ; , etc. par analogie avec les définitions pour des inaccessibles.

Un κ cardinal est considérablement Mahlo si et seulement s'il est inaccessible et il y a (c. les intersections diagonales de dessous non triviales et fermées) un filtre κ-complet normal sur l'ensemble de puissance de κ qui est fermé sous l'opération de Mahlo, qui trace l'ensemble de S de nombres ordinaux { S de α $\ in$ : le α a le cofinality incomptable et S∩α est stationnaire dans le α}

Les propriétés d'être inaccessibles, de Mahlo, faiblement de Mahlo, de α-Mahlo, considérablement de Mahlo, etc. sont préservées si nous remplaçons l'univers par un modèle intérieur .

Voir également

Cardinal inaccessible
Ensemble stationnaire
Modèle intérieur

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