Caractérisations de la fonction exponentielle

Dans les mathématiques , la fonction exponentielle de peut être caractérisé de plusieurs manières. Les caractérisations suivantes (définitions) sont les plus communes. Cet article discute pourquoi chaque caractérisation semble raisonnable, et pourquoi les caractérisations sont indépendant et équivalent d'entre eux. Comme cas spécial de ces considérations, nous verrons que les trois définitions les plus communes données pour la constante mathématique '' e '' sont également équivalent entre eux.

Caractérisations

Les cinq définitions les plus communes de la fonction exponentielle exp ( X ) = le X de ^{du e sont : le}

1. de définissent le X de ^{du e par la limite de = de $e^x\; de$}

de
de
\ lim_ {n \ \ infty} \ (1+ \ frac {x} {n} \ droit) ^n. laissé le

2. de définissent le X de ^{du e comme somme de la série infinie de $e^x\; de$}

de
de
= \ ^ du sum_ {n=0} \ infty {x^n \ au-dessus de n !} = 1 + x + \ frac {x^2} {2 !} + \ frac {x^3} {3 !} + \ frac {x^4} {4 !} + \ cdots

de
(ici, n ! stands pour le factoriel du n . La preuve de que '' e '' est irrationnel emploie cette représentation. de définissent le X de ^{du e pour être le unique y de nombre > 0 tels que}

$\backslash \; int\_\; \{1\}\; ^\; \{\}\; de\; y\; \backslash \; frac\; \{décollement\}\; \{t\}\; =\; x.\; de\; définissent\; le\; X\; dedu\; e\; pour\; être\; la\; solution\; unique\; auproblème\; de\; valeur\; initiale,\; du$ y\text{'}=\; y\; de$$

de
de
\ quadruple y (0) =1. Le f ( X ) de fonction exponentielle = le X de ^{du e est la fonction mesurable de unique de Lebesgue- de avec le f (1) = le e qui satisfait : $f\; de\; de$
(x+y) = f (x) f (y) \ texte {pour tous} x \ texte {et} y \,
de (Hewitt et Stromberg, 1965, exercice 18. Alternativement, c'est la fonction continue n'importe où de unique de avec ces propriétés (Rudin, 1976, exercice de chapitre 8 6). En tant qu'autre alternative (tant que on assume que le domaine contient seulement les vrais nombres , ce de est la seule fonction monotonique satisfaisant ces identités. (Comme contre-exemple, si on fait le pas assument la continuité ou mesurabilité, il est possible de prouver l'existence d'une fonction partout-discontinue et non-mesurable avec cette propriété en employant une base de Hamel de pour les vrais nombres au-dessus des nombres rationnels, comme décrit dans Hewitt et Stromberg.)}

Ces définitions ne sont pas limitées à l'exponentiel de vrais nombres, et plusieurs de eux peuvent être prolongés à n'importe quelle algèbre de Banach de .

Vrai contre le complexe

Les caractérisations ci-dessus sont équivalentes si le domaine est pris pour être l'ensemble de tous les vrais nombres cependant, si on prend le domaine pour être les nombres complexes puis les conditions (1), (2), et (4) sont suffisant, mais (3) est problématique (le long quel chemin fait un intégrer ?) et (5) n'est pas suffisant. Ce dernier rapport signifie que quelques fonctions satisfont l'équation fonctionnelle $f\; de$

(z + w) = f (z) f (w) \,

pour tout le z de nombres complexes et W , et l'état initial $f\; de$

(1) = e \,

et être continu, mais néanmoins ne pas coïncider avec la fonction exponentielle normale. Par exemple, pour le X et le y vrai, laisser $f\; de$

(x + iy) = e^x (\ cos (2y) + I \ péché (2y)). \,

Que cette fonction n'est pas différentiable dans le sens complexe suit du fait qu'il ne satisfait pas les équations de Cauchy-Riemann de .

Pour rendre (5) suffisamment, on peut l'un ou l'autre stipuler que là existe un point auquel le f est une carte isogone ou bien stipuler cela $f\; de$

(i) = \ cos (1) + I \ péché (1). \,

Pourquoi chaque caractérisation semble raisonnable

Chaque caractérisation exige d'une certaine justification de prouver qu'elle semble raisonnable. Par exemple, quand la valeur de la fonction est définie par un ordre ou des séries, la convergence de ce ordre ou séries doit être établie.

Caractérisation 1

Il peut montrer que l'ordre $a\_n\; de$

= \ (1+ \ frac {x} {n} \ droit) ^n laissé

est un ordre d'augmentation qui est lié ci-dessus. Depuis chaque lié, l'ordre d'augmentation de vrais nombres converge à un vrai nombre unique, cette caractérisation semble raisonnable.

Caractérisation 2

Pour montrer la série infinie converge au X = 1, il est asse'à rivaliser avec une série géométrique :

$1\; +\; 1\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\; !\}\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 3\; !\}\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 4\; !\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; le\; 1\; +\; 1\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; +\; du\; frac\; \{1\}\; \{2^2\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2^3\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 3.$

Pour prouver que la série converge pour tout le X , nous employons l'essai de rapport , qui prouve que la série a un rayon de convergence infini, depuis le $de$

\ lim_ {n \ \ infty} \ sont partis|\ frac {x^ {n+1}/(n+1) !}{x^n/n !}\ droit| = \ lim_ {n \ \ infty} \ est parti|\ frac {x} {n+1} \ droit| = 0 < 1 \ mbox {pour tous} x \ mbox {.}

Caractérisation 3

Dans ce cas-ci, nous définissons le ln de fonction du logarithme naturel ( X ) d'abord, et définissons ensuite exp ( X ) comme inverse du logarithme naturel. En d'autres termes, pour tout le y > 0, définissent

$\backslash \; ln\; (y)\; =\; \backslash \; int\_\; \{1\}\; ^\; \{y\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; de\; t\; \backslash ,\; dt.$

Puisque 1 t sont continus pour tout le t > 0, cette fonction semble raisonnable, et puisque 1 t sont positifs pour tout le t > 0, cette fonction est le strictement augmentant (par conséquent, injectif) pour le y > 0. (Note qui si le y < 1, alors ln ( y ) est un nombre négatif.) De l'essai intégral et de la divergence de la série harmonique , il suit ce ∞ de → de ln ( y ) en tant que ∞ de → du y . Par un argument semblable, un changement des variables ( t de $de\; t\; \backslash \; mapsto$ 1) montre ce &minus de → de ln ( y ) ; ∞ comme → 0 du y . Pour résumer, le ln ( y ) trace le infini de l'intervalle (0, ∞) bijectively sur la vraie ligne (&minus de ; ∞, ∞). Par conséquent, pour n'importe quel X de vrai nombre, là doit exister un unique y de nombre > 0 tels que ln ( y ) = le X .

Équivalence des caractérisations < ! -- Cette section est liée du E (constante mathématique) -->

La preuve suivante démontre l'équivalence des trois caractérisations données pour le e ci-dessus. La preuve se compose de deux parts. D'abord, l'équivalence des caractérisations 1 et 2 est établie, et puis l'équivalence des caractérisations 1 et 3 est établie.

Équivalence des caractérisations 1 et 2

L'argument suivant est adapté d'une preuve dans Rudin, le théorème 3.

Laisser le X être un vrai nombre fixe. Définir $s\_n\; de$

= \ ^n du sum_ {k=0} \ frac {x^k} {k !}, \ t_n= \ (1+ \ frac {x} {n} \ droit) ^n. laissé

Par le théorème binomial ,

$t\_n=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^n\; \{n\; \backslash \}\; choisissent\; k\; \backslash \; frac\; \{x^k\}\; \{n^k\}\; =1+x+\; \backslash \; ^n\; du\; sum\_\; \{k=2\}\; \backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\; (N2)\; \backslash \; cdots\; (n\; (k-1))x^k\}\; \{k\; !\; \backslash ,\; n^k\}$

$=1+x+\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{2\; !\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; +\; laissé\; \backslash \; frac\; \{x^3\}\; \{3\; !\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; +\; laissé\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; laissé\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n\; !\}\backslash \; parti\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; parti\; (1\; \backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{n\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; le\; s\_n$

de sorte que $de$

\ t_n du limsup_ {n \ \ infty} \ le \ s_n du limsup_ {n \ \ infty} = e^x

là où le X de ^{du e est dans le sens de la définition 2. Ici, nous devons employer le Limsup 's, parce que nous ne savons pas encore que le du n de _{du t réellement converge . Maintenant, pour l'autre direction, noter que par l'expression ci-dessus du n} de _{du t , si 2 le n de ≤ du m de ≤, nous ont}}

$1+x+\; \backslash \; frac\; \{x^2\}\; \{2\; !\}\backslash \; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; +\; laissé\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{x^m\}\; \{m\; !\}\backslash \; parti\; (1\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (1\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; parti\; (1\; \backslash \; frac\; \{m-1\}\; \{n\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; le\; t\_n.$

Fixer le m , et laisser l'infini d'approche du n . Nous obtenons $s\_m\; de$

= 1+x+ \ frac {x^2} {2 !}+ \ cdots+ \ frac {x^m} {m !} \ le \ liminf_ {n \ \ infty} t_n

(encore, nous devons employer le Liminf 's parce que nous ne savons pas encore que le n de _{du t converge). Maintenant, prendre l'inégalité ci-dessus, laisser l'infini d'approche du m , et le mettre ainsi que l'autre inégalité. Ceci devient $de$}

\ t_n du limsup_ {n \ \ infty} \ le e^x \ le \ t_n du liminf_ {n \ \ infty} \ le \ limsup_ {n \ \ infty} t_n

de sorte que $de$

\ t_n du lim_ {n \ \ infty} = e^x.

Équivalence des caractérisations 1 et 3

Ici, nous définissons la fonction de logarithme naturel en termes d'intégrale définie comme ci-dessus. Par le théorème fondamental de du calcul , le $de$

\ frac {d} {dx} \ sont partis (\ ln X \ droit) du = \ frac {1} {x}.

Maintenant, laisser le X être tout vrai nombre fixe, et laisser $y=\; de$

\ lim_ {n \ \ infty} \ (1+ \ frac {x} {n} \ droit) ^n. laissé

Nous montrerons ce ln ( y ) = le X , qui implique ce y = X de ^{du e , où le X} de ^{du e est dans le sens de la définition 3. Nous avons}

$\backslash \; ln\; y=\; \backslash \; ln\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; \backslash parti(1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; ^n=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; ln\; \backslash \; (1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; ^n.$ laissé

Ici, nous avons employé la continuité du ln ( y ), qui suit de la continuité de 1 t :

$\backslash \; ln\; y=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \; infty\}\; n\; \backslash \; ln\; \backslash \; parti\; (1+\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x\; \backslash \; ln\; \backslash \; sont\; partis\; (1+\; (x/n)\; \backslash \; droit)\}\{(x/n)\}.$

Ici, nous avons employé le de ln de résultat un n de ^de = de ln du n un . Ce résultat peut être établi pour le n un nombre normal induction, ou en employant l'intégration par la substitution. (La prolongation à de vraies puissances doit attendre jusqu'au ln de et le exp ont été établis comme inverses de l'un l'autre, de sorte que le un b de ^{de puisse être défini pour le vrai b en tant que de ln du b de du e un .)}

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; lim\_\; \{h\; \backslash \; à\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; \backslash \; est\; parti\; (1+h\; \backslash \; droits)\}\{\}\; de\; h\; \backslash \; h=\; dequadruple\backslash \; mbox\; \{où\}\; \backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}$

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{décollement\}\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; ln\; t\; \backslash )\; droit\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; mbox\; \{à\}\; t=1$

$=x\; \backslash \; cdot\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; de\; t\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; mbox\; \{à\}\; t=1$ $de$

\ ! \, = x.

Équivalence des caractérisations 1 et 5

La preuve suivante est une version simplifiée de celle dans Hewitt et Stromberg, l'exercice 18. D'abord, on montre que la mesurabilité (ou ici, Lebesgue-integrability) implique la continuité pour un $f\; différent\; dezéro\; defonction\; ($ f\; satisfying\; de\; x)$(x+y)=f\; (x)\; f\; (y)$, et alors un montre que la continuité implique le $f\; (x)\; =\; e^\; \{KX\}$ pour un certain k , et finalement $f\; (1)=e$ implique le k =1.

D'abord, nous prouvons quelques propriétés élémentaires de $f\; ($ f\; satisfying\; de\; x)$(x+y)=f\; (x)\; f\; (y)$ et la prétention que $f\; (x)$ n'est pas identiquement zéro :
Si $f\; (x)$ est différent de zéro n'importe où (dire au X = y ), alors il est différent de zéro partout. Preuve : $f\; (y)\; =\; f\; (x)\; f\; (y\; -\; x)\; \backslash quantiténette\; de\; substance\; explosive\; 0$ implique le $f\; (x)\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; 0$.
$f\; (0)\; =1$. Preuve : $f\; (x)=\; f\; (x+0)\; =\; f\; (x)\; f\; (0)$ et $f\; (x)$ est différent de zéro.
$f\; (-\; x)\; =1/f\; (x)$. Preuve : $1\; =\; f\; (0)\; =\; f\; (xx)\; =\; f\; (x)\; f\; (-\; x)$.
Si $f\; (x)$ est continu n'importe où (dire au X = y ), alors il est continu partout. Preuve : $f\; (x+\; \backslash \; delta)\; -\; f\; (x)\; =\; f\; f\; (de\; x/y)\; (y+\; \backslash \; delta)\; -\; f\; (y)\; \backslash \; rightarrow\; 0$ comme $\backslash \; delta\; \backslash \; rightarrow\; 0$ par continuité à y .

Les deuxièmes et troisième propriétés signifient qu'il est suffisant de prouver le $f\; (x)=e^x$ pour positif X .

Si $f\; (x)$ est une fonction Lebesgue-intégrable , alors nous pouvons définir $g\; de$

(x) = \ int_0^x f (x') \, dx'.

Il suit alors cela $g\; de$

(x+y) - g (x) = \ int_x^ {x+y} f (x') \, = de dx \ int_0^y f (x+x') \, dx = f (x) g (y).

Depuis le $f\; (x)$ est différent de zéro, nous pouvons choisir un certain y tels que $g\; (y)\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; 0$ et résolvent pour le $f\; (x)$ dans l'expression ci-dessus. Par conséquent : $f\; de$

(x+ \ delta) - = de f (\ delta) \ frac {-} {g (y)} $=\; \backslash \; frac\; de$

de
{-} {g (y)} $=\; de$

de
\ frac {f (x+y) g (\ delta) - f (x) g (\ delta)}{g (y)} =g (\) de delta \ frac {f (x+y) - f (x)} {g (y)}.

L'expression finale doit aller à zéro comme $\backslash \; delta\; \backslash \; rightarrow\; 0$ depuis le $g\; (0)\; =0$ et le $g\; (x)$ est continu. Elle suit que $f\; (x)$ est continu.

Maintenant, nous prouvons ce $f\; (q)\; =\; e^\; \{kq\}$, pour un certain k , pour tout le positif q de nombres raisonnables. Laisser le q = n / m pour le positif n de nombres entiers et le m . Puis + de $f\; de\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{n\}\; \{m\}\; \backslash \; droit)\; =f\; laissé\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; \backslash \; cdots+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; \backslash \; droit)\; =f\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{1\}\; \{m\}\; \backslash \; droit)\; ^\; laissé\; \{n\}$ par induction élémentaire sur le n . Par conséquent, $f\; (=f\; 1/m)^\; \{m\}\; (1)$ et ainsi $f\; de$

\ (\ frac {n} {m} \ droit) =f laissé (=e^ 1)^ {n/m} {k (n/m)}.

pour = de $k\; \backslash \; ln\; \backslash ,$. Noter que si nous nous limitons au $f\; à\; valeurs\; réelles\; (x)$, alors au $f\; (x)\; =\; f\; (x/2)^2$ est partout positif et ainsi le k est vrai.

En conclusion, par continuité, depuis le $f\; (x)\; =\; e^\; \{KX\}$ pour tout le raisonnable X , il doit être vrai pour tout le vrai X puisque la fermeture des nombres rationnels est les reals (c'est-à-dire, nous pouvons écrire n'importe quel vrai X comme limite d'un ordre des nombres rationnels). Si $f\; (1)\; =\; k\; d\text{'}e$ puis = 1. C'est équivalent à la caractérisation 1 (ou 2, ou 3), selon lequel la définition équivalente du e un emploie.

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