Calcul partiel

Le calcul partiel est une branche de l'analyse mathématique qui étudie la possibilité de prendre à des puissances du vrai nombre de l'opérateur différentiel

$D\; =\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; de\; dx\; \backslash ,$

et le J d'opérateur d'intégration. (Habituellement le J est employé en faveur du I pour éviter la confusion avec l'autre I - comme des glyphs et des identités )

Dans des puissances de ce de contexte se rapportent à l'application itérative, dans la même chose sens ce f ²(x) = f (f (x)).
Par exemple, on peut poser la question de l'interprétation clairement

$\backslash \; racine\; carré\; \{D\}\; =\; D^\; \{\}\; de\; 1/2\; \backslash ,$

comme racine carrée de l'opérateur de différentiation (une moitié de d'opérateur réitèrent ), c., une expression pour un certain opérateur qui quand appliqué le deux fois à une fonction aura le même effet que la différentiation . Plus généralement, on peut regarder la question de la définition $D^s\; de$

de
\,

pour des valeurs de vrai-nombre du s de telle manière que quand le s prend un n de valeur du nombre entier , la puissance habituelle du n - la différentiation de pli est récupérée pour le n > 0, et le &minus ; puissance de Th du n du J quand n < 0.

Il y a de diverses raisons de regarder cette question. On est que de cette façon le semigroupe du n de ^{du D de puissances dans le variable discret n du est vu à l'intérieur d'un semigroupe continu du (on espère) avec le s de paramètre qui est un vrai nombre. Les semigroupes continus sont répandus dans les mathématiques, et ont une théorie intéressante. Noter ici que la fraction de est alors un terme mal approprié pour l'exposant, puisqu'elle n'a pas besoin d'être le raisonnable, mais le de limite le calcul que partiel est devenu traditionnel.}

Dérivé partiel

En ce qui concerne l'existence d'une telle théorie, les fondements du sujet ont été jetés par le Liouville dans un papier de 1832. Le dérivé partiel d'une fonction pour commander le un souvent est maintenant défini au moyen du Fourier ou le Mellin transformée. Un aspect important est que le dérivé partiel à un X de point est une propriété locale de seulement quand le un est un nombre entier ; dans des cas non intégrants nous ne pouvons pas dire que le dérivé partiel au X d'un f de fonction dépend seulement du graphique du f très près du X , de la manière que les dérivés de nombre-puissance font certainement. Par conséquent on s'attend à ce que la théorie implique une certaine sorte des états de frontière impliquant l'information sur la fonction plus loin dehors. Pour utiliser une métaphore, le dérivé partiel exige de la vision périphérique .

Pour l'histoire du sujet, voir la thèse (en français) : Stéphane Dugowson, métaphysiques de différentielles de Les (histoire et l'ordre de dérivation de philosophie de la généralisation de), Thèse, Université Paris Nord (1994)

Heuristique

Une question assez normale à demander est, existe là un opérateur $H$, ou le moitié-dérivé , tels de que

$H^2\; f\; de\; de$
(x) = D f (x) = \ frac {d} {dx} f (x) = f'(x) ?

Il s'avère qu'il y a un tel opérateur, et en effet pour n'importe quels $a\; >\; 0$, là existe un opérateur $P$ tels que $de$

de
(^ de P un f) (x) = f'(x) \, ,

ou pour le mettre une autre manière, $\backslash \; frac\; \{d^ny\}\; \{dx^n\}$ est le bien défini pour toutes les valeurs réelles du n > 0. Un résultat similaire s'applique à l'intégration.

Pour fouiller dans un petit détail, début avec le $de\; lafonction\; gamma\backslash \; gamma\; \backslash ,$, qui prolonge le Factorials aux valeurs de non-nombre entier. Ceci est défini tels que $n\; de\; de$
! = \ gamma (n+1) \, .

Assumer un $f\; de\; fonction\; (x)$ qui est bien défini où du $X\; >\; 0,\; nous\; peut\; former\; l\text{'}intégrale\; définie\; de\; 0\; au\; X\; .\; Appelons\; ceci$ de$$

de
(= de J f) (x) \ int_0^x f (t) \ ; décollement .

La répétition de ce processus donne $de$

de
(= de J^2 f) (x) \ int_0^x (= de J f) (t) décollement \ int_0^x \ est parti (\ int_0^t f \ ; ds \) droit \ ; dt, et ceci peut être prolongé arbitrairement.

La formule de Cauchy de pour l'intégration répétée , à savoir $de$

de
(J^ N-F) (x) = {1 \ plus de (n-1) ! ^} \ int_0^x (x-t) {n-1} f (t) \ ; décollement,

mène à une manière franche à une généralisation pour le vrai n .

Simplement using la fonction gamma pour enlever la nature discrète de la fonction factorielle (rappelant que $\backslash \; gamma\; \backslash \; est\; parti\; (n+1\; \backslash )\; droit\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; n\; !$, ou d'une manière equivalente $\backslash \; gamma\; \backslash \; est\; parti\; (n\; \backslash )\; droit\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; (n-1)\; !$) nous donne un candidat normal pour des demandes partielles de l'opérateur intégral.

$(J^\; \backslash \; alpha\; f)\; (x)\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; ^\}\; degamma(\backslash \; alpha)\; \backslash \; int\_0^x\; (x-t)\; \{\backslash \; alpha-1\}\; f\; (t)\; \backslash \; ;\; dt$

C'est en fait un opérateur bien défini.

Il peut montrer que l'opérateur du J est commutatif et additif. C'est-à-dire,

$(J^\; \backslash \; alpha)\; (J^\; \backslash \; bêta)\; f\; =\; (J^\; \backslash \; bêta)\; (J^\; \backslash \; alpha)\; f\; =\; (J^\; \{\backslash \; alpha+\; \backslash \; bêta\})\; f\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; ^\}\; de\; gamma\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; bêta)\; \backslash \; int\_0^x\; (x-t)\; \{\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta-1\}\; f\; (t)\; \backslash \; ;\; dt$

Cette propriété s'appelle la propriété de semigroupe des opérateurs partiels de Differintegral . Malheureusement le processus comparable pour le dérivé D d'opérateur est plus complexe, mais il peut montrer que le D n'est ni le commutatif, ni l'additif en général.

Demi de dérivé d'une fonction simple

Supposons que $f\; (x)$ est un monôme de la forme $f\; de$

de
(x) = x^k \ ;.

La première dérivée est comme d'habitude

$f\text{'}(x)\; =\; \{d\; \backslash \; au-dessus\; de\; dx\}\; f\; (x)\; =\; k\; x^\; \{k-1\}\; \backslash \; ;.$

La répétition de ceci donne au résultat plus général cela x^k du $de$

de
{d^a \ au-dessus de dx^a} = {k ! \ plus de (k - a) ! } x^ {} de ka \ ; ,

À ce que, après remplacement du Factorials par la fonction gamma , nous mène

$\{d^a\; \backslash \; au-dessus\; de\; dx^a\}\; x^k\; =\; \{\backslash \; gamma\; (k+1)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (k\; -\; a\; +\; 1)\}\; x^\; \{\}\; de\; ka\; \backslash \; ;.$

Ainsi, par exemple, le moitié-dérivé de $x$ est

$\{d^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; dx^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\; x\; =\; \{\backslash \; gamma\; (1\; +\; 1)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (1\; -\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; +\; 1)\}\; x^\; \{1\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\; =\; \{\backslash \; gamma\; (2)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (\{3\; \backslash \; plus\; de\; 2\})\}\; x^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; =\; \{2\; \backslash \; pi^\; \{-\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\}\; x^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; ;\; =\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash ,\; x^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\}.$

La répétition de ce processus donne

$\{d^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; dx^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\; \{2\; \backslash \; pi^\; \{-\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\}\; x^\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; =\; \{2\; \backslash \; pi^\; \{-\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; gamma\; (1\; +\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\})\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; x^\; de\; gamma\; (\{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; -\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; +\; 1)\}\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; -\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\; =\; \{2\; \backslash \; pi^\; \{-\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; gamma\; (\{3\; \backslash \; plus\; de\; 2\})\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (1)\}\; x^0\; =\; \{1\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (1)\}\; =\; 1\; \backslash \; ;\; ,$

de ce qu'est en effet le résultat prévu

$\backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{d^\; \{\}\; de\; 1/2\}\}\; \{dx^\; \{1/2\}\; \backslash \; frac\; \{d^\; \{1/2\}\}\; \{dx^\; \{1/2\}\}\; \backslash \; droit)\; x\; =\; \{d\; \backslash \; au-dessus\; de\; dx\}\; x\; =\; 1\; \backslash ,$

Cette prolongation de l'opérateur différentiel ci-dessus n'a pas besoin d'être contrainte seulement à de vraies puissances. Par exemple, le dérivé du Th (1+i) du dérivé du Th (1-i) rapporte le 2ème dérivé.

Laplace transforment

Nous pouvons également venir à la question par l'intermédiaire du Laplace transformons . Notant que $de\; \backslash \; L\; mathcal\; \backslash \; laissé\; (t\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\_0^t\; f)\; (\backslash \; tau\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; LJf=s\; \backslash \; mapsto\; mathcal\; \backslash \; frac1s\; (\backslash \; LF\; mathcal)\; (s)$ et $de\; \backslash \; LJ^2f=s\; \backslash \; mapsto\; mathcal\; \backslash \; frac1s\; (\backslash \; LJf\; mathcal)\; (s)=s\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; frac1\; \{s^2\}\; (\backslash \; LF\; mathcal)\; (s)$ etc., nous affirment

$J^\; \backslash \; alpha\; f=\; \backslash \; mathcal\; L^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; à\; gauche\; (s^\; de\; s\; \backslash \; mapsto\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; (\backslash \; LF\; mathcal)\; (s)\; \backslash \; droit)$. Par exemple $J^\; de\; \backslash \; alpha\; \backslash \; laissé\; (t^k\; de\; t\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; droit)$$$

\ mathcal L^ {- 1 $\}\; \backslash \; laissé\; (s\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; gamma\; (k+1)\; \backslash \; au-dessus\; du\; s^\; \{\backslash \; alpha+k+1\}\}\; \backslash \; droit)$

t \ mapsto {\ gamma (k+1) \ au-dessus de \ (\ alpha+k+1)} t^ gamma {\ alpha+k}

comme prévu. En effet, donné le $de\; règle\; de\; la\; convolution\; \backslash \; L\; mathcal\; (f*g)=\; (\backslash \; LF\; mathcal)\; (\backslash \; atterrisseur\; mathcal)$ (et $p\; shorthanding\; (x)=x^\; \{\backslash \; alpha-1\}$ pour la clarté) nous trouvons ces $J^\; de\; \backslash \; alpha\; f=\; \backslash \; frac1\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha)\}\backslash \; L^\; mathcal\; \{-\; 1\}\; \backslash \; droit\; (\backslash \; laissé\; (\backslash \; mathcal\; Lp\; \backslash )\; (\backslash \; LF\; mathcal)\; \backslash \; droit)$$laissé$

\ frac1 {\ gamma (\ alpha)}(p*f)$$

X \ mapsto \ frac1 {\ gamma (\ alpha)}\ int_0^xp (x-t) f (t) \, dt$$

X \ mapsto \ frac1 {\ gamma (\ alpha)}\ int_0^x (x-t) ^ {\ alpha-1} f (t) \, dt

est ce qui au-dessus de ce que Cauchy nous a donnés.

Laplace transforme le " ; work" ; sur relativement peu de fonctions, mais eux le sont souvent utile pour résoudre des équations partielles.

Riemann-Liouville differintegral

La forme classique de calcul partiel est donnée par le Riemann-Liouville differintegral, essentiellement ce qui a été décrit ci-dessus. La théorie pour les fonctions périodiques donc comprenant le « état de frontière » de la répétition après une période, est le Weyl differintegral. Elle est définie sur la série de Fourier De , et exige du coefficient constant de Fourier de disparaître (ainsi, s'applique aux fonctions sur le cercle d'unité intégrant à 0).

En revanche le Grunwald-Letnikov differintegral commence par le dérivé.

Calcul fonctionnel

Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle , f de fonctions (D) plus généraux que des puissances sont étudiés dans le calcul fonctionnel de la théorie spectrale . La théorie des opérateurs de Pseudo-différentiel de permet également à on de considérer des puissances du D . Surgir d'opérateurs sont des exemples des opérateurs intégraux singuliers et la généralisation de la théorie classique à des dimensions plus élevées s'appelle la théorie de potentiels de Riesz de que donc là sont un certain nombre de théories contemporaines disponibles, dans lesquelles le calcul partiel de peut être discuté. Voir également l'opérateur d'Erdélyi-Kober de , important dans la théorie de la fonction spéciale .

Pour l'interprétation géométrique et physique possible de l'intégration de partiel-ordre et de la différentiation de partiel-ordre, voir :
Interprétation de Podlubny, d'I., géométrique et physique de l'intégration partielle et de la différentiation partielle. Calcul partiel et analyse appliquée, vol.  ; 4, 2002, 367&ndash ; 386. (disponible en tant que l'article original, ou prétirage chez Arxiv.org)

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