Calcul fonctionnel

Dans les mathématiques , un calcul fonctionnel est une théorie permettant à on de s'appliquer les fonctions mathématiques aux opérateurs mathématiques de que si le f est une fonction, indiquent une fonction numérique d'un vrai nombre , et le M est un opérateur, là n'est aucune raison particulière pour laquelle l'expression f ( M ) de

devrait sembler raisonnable. S'il fait, alors nous n'employons pas le f sur son domaine original de fonction de plus longtemps. Ceci passe presque inaperçu si nous parlons de « ajuster une matrice », bien que, qui est le cas du f ( X ) = le X ² et le M des × du n un ; matrice du n . L'idée d'un calcul fonctionnel est de créer une approche de principes du à ce genre de surchargeant de la notation.

Le cas le plus immédiat est de s'appliquer les fonctions polynômes à une matrice carrée , prolongeant ce qui a été juste discuté. Dans le cas dimensionnel fini, le calcul fonctionnel polynôme rapporte tout à fait un peu d'informations sur l'opérateur. Par exemple, considérer la famille des polynômes qui annihile un T d'opérateur. Ce famille est un idéal dans l'anneau des polynômes. En outre, c'est un idéal non trivial : laisser le n être la dimension finie de l'algèbre des matrices, puis { I , T , T ²… Le Tⁿ } est linéairement dépendant. Ainsi &sum ; α_i Tⁱ = 0 pour le α_i de quelques grandeurs scalaires. Ceci implique que le &sum polynôme ; le α_i xⁱ se situe dans l'idéal. Puisque l'anneau des polynômes est un domaine d'idéal principal , cet idéal est produit par un certain polynôme m . Le polynôme m est avec précision le polynôme minimal du T . On a, par exemple, un α scalaire de est une valeur propre du T si et seulement si le α de est une racine du m . En outre, parfois le m peut être employé pour calculer le exponentiel du T efficacement.

Le calcul polynôme n'est pas comme instructif dans le cas dimensionnel infini. Considérer le le décalage unilatéral avec le calcul de polynômes ; l'idéal défini ci-dessus est maintenant insignifiant. Ainsi on est intéressé par des calculs fonctionnels plus généraux que des polynômes. Le sujet est étroitement lié à la théorie spectrale , puisque pour une matrice diagonale ou l'opérateur de multiplication de , il est plutôt clair ce qui être les définitions devraient.

Pour des comptes techniques voir :
calcul fonctionnel holoèdre
Calcul fonctionnel continu
Calcul fonctionnel de Borel de .

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