Calcul d\'Itō

Le calcul d'Itō de , baptisé du nom de Kiyoshi Itō , les opérations mathématiques de festins sur le stochastique son concept plus important des procédés est l'intégrale stochastique d'Itō.

Définition

L'intégrale d'Itō peut être en quelque sorte semblable défini au Riemann-Stieltjes intégral, celui est car une limite dans la probabilité des sommes de Riemann de une telle limite n'existe pas nécessairement pathwise. Supposer ce W : × de '' T '' ; Le R de → de Ω est un processus de saucisse de et ce X : × de '' T '' ; Le R de → de Ω est un procédé stochastique adapté par de à la filtration normale du processus de saucisse. Alors l'intégrale d'Itō de du du X de en ce qui concerne le W de est une variable aléatoire

$\backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; X\_\; \{\}\; de\; t\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; W\_\; \{t\}\; :\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \backslash \; mathbb\; \{R\},$

défini pour être le '' L '' limite de ² de

$\backslash \; sum\_\; \{I\; =\; 0\}\; ^\; \{k\; -\; 1\}\; X\_\; \{\}\; de\; t\_\; \{I\}\; \backslash \; laissé\; (W\_\; \{t\_\; \{i+1\}\}\; -\; W\_\; \{t\_\; \{I\}\}\; \backslash )$ droit

comme maille de la cloison 0 = < du t ₀ ; < du t ₁ ; … < ; le k de _{du t} = T de '' T '' tend à 0 (dans le modèle d'une intégrale de Riemann-Stieltjes).

Techniquement parlant, la construction est d'abord effectuée sur une classe de " ; processes" élémentaire ; et alors prolongé à la fermeture de cette classe dans le L norme de ². La collection de tous les processus intégrables d'Itō est parfois le dénoté L ² ( W ).

Un fait crucial sur cette intégrale est le lemme d'Itō de , qui permet à on de comparer des intégrales classiques et stochastiques et de calculer le désaccord d'une intégrale d'Itō.

Généralisation : intégration en ce qui concerne une martingale

Le procédé employé pour définir l'intégrale d'Itō fonctionne pour des procédés stochastiques plus généraux que le W de processus de saucisse, et peut être employé pour définir l'intégrale stochastique de n'importe quel processus adapté en ce qui concerne n'importe quelle martingale .

Laisser le M : × de '' T '' ; Le R de → de Ω soit une martingale à valeurs réelles en ce qui concerne sa filtration normale $de$

\ ^ mathcal du _ {F} {t} {M} : = \ sigma \ est parti \ {le ^ de M_ {s} {- 1} (a) \ est parti| A \ dans \ mathrm {Borel} (\ mathbb {R}), 0 \ leq s \ leq t \ droit. \ droit \},

c. $de$

\ mathbb {E} (M_ {t} | \ ^ mathcal du _ {F} {s} {M}) = M_ {s}.

Laisser maintenant le X : × de '' T '' ; Le R de → de Ω soit un procédé stochastique adapté au $de\; filtration\; \backslash \; au\; ^\; mathcal\; du\; \_\; \{F\}\; \{t\}\; \{M\}$. Puis l'intégrale d'Itō de du du X de en ce qui concerne le M de , dénotée

$\backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; X\_\; \{\}\; de\; t\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; M\_\; \{t\},$

est défini pour être le '' L '' la limite de ² de

$\backslash \; sum\_\; \{I\; =\; 0\}\; ^\; \{k\; -\; 1\}\; X\_\; \{\}\; de\; t\_\; \{I\}\; \backslash \; laissé\; (M\_\; \{t\_\; \{i+1\}\}\; -\; M\_\; \{t\_\; \{I\}\}\; \backslash )$ droit

comme maille de la cloison 0 = < du t ₀ ; < du t ₁ ; … < ; le k de _{du t} = T de '' T '' tend à 0. La collection de tout le X de processus pour laquelle l'intégrale d'Itō en ce qui concerne le M est définie est parfois le dénoté L ² ( M ).

La définition peut être encore prolongée à tous les processus tels que laissé par un argument de localisation.

Autre s'approche

Le Stratonovich intégral est une autre manière de définir des intégrales stochastiques. Sa règle de dérivation est plus simple que le lemme d'Ito de .

Dans la définition de l'intégrale de Stratonovich, le même procédé limiteur est employé excepté choisir la valeur du de processus X au point médian de chaque sous-intervalle au lieu du point final à gauche : c.

$X\_\; \{(t\_\; \{i+1\}\; +)\; de\; t\_\; \{I\}/2\}$ au lieu de $X\_\; \{t\_\; \{I\}\}.$

La conversion entre les intégrales d'Itō et de Stratonovich peut être exécutée using la formule

$\backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sigma\; (t,\; X\_\; \{t\})\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; W\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sigma\; (t,\; X\_\; \{t\})\; \backslash \; sigma\; (t,\; X\_\; \{t\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; +\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; sigma\; (t,)\; de\; X\_\; \{t\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; W\_\; \{t\},$

là où $X$ est un certain processus, $\backslash \; sigma\; (t,\; x)\; :\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; sigma\}\; \{\backslash \; x\; partiel\}\; (t,\; x)$, et $\backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\}\; de\; T\; \backslash \; sigma\; (t,)\; de\; X\_\; \{t\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; W\_\; \{t\}$ dénote l'intégrale de Stratonovich.

D'autres prolongements de calcul d'Itō : dérivé stochastique

Le calcul d'Itō, aussi d'inauguration et remarquable qu'il est, parce que plus de 60 ans a seulement été un calcul intégral : il n'y avait aucune théorie explicite de différentiation de pathwise derrière elle. Cependant, en 2004 (édité en 2006) Hassan Allouba a défini le dérivé d'un donné S de semimartingale en ce qui concerne le mouvement brownien using la covariation : pour $S\_\; de$

{t} = S_ {0} + V_ {t} + M_ {t},

là où le V est un processus de la variation liée et le M est une martingale locale, le dérivé du S en ce qui concerne le B est défini pour être = de S_ de _ de $\backslash \; mathbb\; de$

{D} {B_ {t}} {t} \ frac {\ mathrm {d} \ langle S, B \ rangle_ {t}} {\ mathrm {} de d \ langle B, B \ rangle_ {t}} = \ frac {\ mathrm {} de d \ langle S, B \ rangle_ {t}} {\ mathrm {d} t},

là où la covariation du mouvement brownien est juste la variation quadratique .

Ce dérivé stochastique s'avère avoir plusieurs des propriétés du dérivé habituel du calcul élémentaire. La différence principale est que là où une intégrale indéfinie (anti-dérivé) de dans le sens habituel est déterminée seulement jusqu'à une constante de l'intégration additive, une intégrale indéfinie dans ce calcul stochastique est déterminée seulement jusqu'à une variation liée de processus (qui pourrait être une fonction des variables déterministes). Ces processus sont le " ; constants" ; dans le calcul et la différentiation stochastiques. Pour voir pourquoi c'est le cas, observer que quand nous prenons la covariation de quelque chose déterministe et de quelque chose qui sont aléatoires, la covariation disparaît : c., pour tout de fonction continue et déterministe f avec des dérivés du n , $de$

\ _ du mathbb {D} {B_ {t}} f (t) = \ frac {\ mathrm {} de d \ langle f, B \ rangle_ {t}} {\ mathrm {d} t} = 0.

Il y a une version de le théorème fondamental du calcul pour cette paire dérivée/intégrale :

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{B\_\; \{t\}\}\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; X\_\; \{\}\; de\; s\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; B\_\; \{s\}\; =\; X\_\; \{t\}$

et

$\backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{B\_\; \{s\}\}\; S\_\; \{\}\; de\; s\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; B\_\; \{s\}\; =\; S\_\; \{t\}\; -\; S\_\; \{0\}\; -\; V\_\; \{t\}.$

En outre, ce calcul stochastique a des versions stochastiques de beaucoup d'autres théorèmes de calcul élémentaire.

la règle à chaînes de : de
$de\; \backslash \; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; f\; (S\_\; \{t\})\; =\; f\; (S\_\; \{t\})\; \backslash \; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; S\_\; \{t\}.$

• la règle d'addition de : de
  

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{B\_\; \{t\}\}\; \backslash parti(S\_\; \{t\}\; ^\; \{(1)\; ^\}\; \backslash \; P.\; b\; S\_\; \{t\}\; \{(2)\}\; \backslash \; droit)\; =\; a\; \backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{B\_\; \{t\}\}\; S\_\; \{t\}\; ^\; \{(1)\}\; \backslash \; P.\; b\; \backslash \; ^\; de\; S\_\; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; \{t\}\; \{(2)\}.$

• la règle de produit de : de
  

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{\}\; de\; B\_\; \{t\}\; \backslash \; laissé\; (^\; de\; S\_\; de\; ^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(1)\}\; \{t\}\; \{(2)\}\; \backslash \; droit)\; =\; ^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(2)\}\; \backslash \; ^\; de\; S\_\; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; \{t\}\; \{(1)\}\; +\; ^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(1)\}\; \backslash \; ^\; de\; S\_\; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; \{t\}\; \{(2)\}.$

• la règle de quotient de : de
  

$\backslash \; mathbb\; \{D\}\; \_\; \{\}\; de\; B\_\; \{t\}\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(1)\}\}\; \{^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(2)\}\}\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; ^\; de\; S\_\; de\; ^\; S\_\; de\; frac\; \{^\; de\; S\_\; \{t\}\; \{(2)\}\; \backslash \; \_\; de\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; \{t\}\; \{(1)\}\; -\; \{t\}\; \{(1)\}\; \backslash \; ^\; de\; S\_\; \_\; du\; mathbb\; \{D\}\; \{B\_\; \{t\}\}\; \{t\}\; \{(2)\}\}\; \{^\; \{2\}\}.$

Il y a des versions stochastiques également correspondantes du théorème de Rolle de et du théorème de valeur moyenne .

Voir également

processus de saucisse
Le lemme d'Itō de

.

Random links:

L'université du Christ, Cambridge | Menthe de Dahlonega | Tarif de 1833 | Crossley | Gymnema sylvestre | Cálculo_de_Itō

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