C0-semigroup

Dans les mathématiques , un C ₀-semigroup , également connu sous le nom de semigroupe d'un-paramètre de (fortement continu), est un morphism continu de ( R ₊, +) dans un monoîde topologique , habituellement le L de du (B) , l'algèbre des opérateurs continus linéaires sur un certain B de l'espace de Banach .

Ainsi, à proprement parler, pas le C ₀-semigroup, mais plutôt son image, est un semigroupe .

Exemple

Le C ₀-semigroups se produisent par exemple dans le cadre des problèmes de valeur initiale

de mathrm} = f (x, t) ; ~ X (0) =, du ~ x_0 \ qquad \ rm (CP)

< ! -- du (CP) ; ; du X /d de d t = f (x, t) ; ; X (0) =x₀ , --> là où le X et le f prennent des valeurs dans un B de l'espace de Banach.

Si la solution de (CP) est unique (selon f ) pour le X ₀ dans un certain donné B de ⊂ du D de domaine, on a le " ; operator" de solution ; défini près $\ gamma de (t) \, x_0 = x (t),$ où X (t) est la solution de (CP). < ! -- Γ (t) de x₀ = x (t), où X (t) est solution de (CP). -->

Ainsi on peut regarder Γ comme " ; operator" d'évolution ; , et il est clair qu'on devrait avoir $\ gamma de (s + t) = \ gamma \ gamma (t) \,$ < ! -- Γ (s+t)=Γ Γ de (t) -->

sur le D de domaine. C'est juste l'état d'un semigroupe-morphism.

Alors on peut étudier les conditions dans lesquelles Γ est continu pour la topologie sur le L (B) induit par la norme sur B , qui s'élève pour vérifier ces $de \ lim_ {} de t \ to0^+ \|\ Gamma (t) \, x_0 - x_0 \| = 0$ < ! -- || Γ (t) x₀ - x₀ || → 0, comme → 0 du t . --> pour chaque X ₀ dans le D .

Définition formelle

Tout ce qui suit des soucis la définition suivante :

Un C ₀-semigroup (fortement continu) sur un B de l'espace de Banach est un
Γ de
de carte : L de → du R ₊ (B) tels que Γ (0) = I : = B , d'id_{; (opérateur d'identité sur B )}

∀ t, ≥ 0 de s : Γ (t+s) = Γ (t)

de Γ B de ∈ du X ₀ de ∀ : || X ₀ - X ₀ de Γ ( t ) || → 0, comme → 0 du t .

Générateur infinitésimal

infinitésimal générateur A de C ₀-semigroup Γ est défini par

$A \, x = \ lim_ {t \ to0} \ frac1t \, (\ gamma (t) - I) \, x$ < ! -- de A x = lim (1 t ) (Γ ( t ) - I ) x --> toutes les fois que la limite existe. Le domaine du A , D (A) , est l'ensemble de $x \ dans B$ pour lequel cette limite existe.

Le $\ gamma (t)$ peuvent également être dénotés par le symbole $de \ gamma (t) = e^ {tA}.$

Cette notation est compatible avec la notation pour les exponentials de Matrix de et pour des fonctions d'un opérateur défini par l'intermédiaire du théorème spectral .

Stabilité

La croissance attaché de d'un semigroupe Γ (sur un espace de Banach) est la constante

$\ Omega = \ lim_ {t \ to0} \ frac1t \ notation \| \ Gamma (t) \|$ . < ! -- notation de ω = de lim (1 t ) || Γ (t) || . -->

Il est tout soi-disant que ce nombre est également l'infimum de tout le W de vrais nombres tels que là existe un de constante M (≥ 1) avec

$\|\ Gamma (t) \| \ leq Me^ {poids}$

pour tout le ≥ 0 du t .

Le semigroupe est le exponentiellement stable, c. le $de \ existe K, a > 0, ~ \ forall t \ ge0 : \| \ Gamma (t) \| \ le K \, e^ {- a \, t}$

< ! -- K de ∃, > 0, ≥ 0 du t de ∀ : || Γ (t) || e^{- du K de ≤ un t}, --> si et seulement si sa limite de croissance de est négative.

On a ce qui suit :

Théorème de : Le semigroupe de A est exponentiellement écurie si et seulement si pour chaque $x \ dans B$ il y a $C > de 0$ tels que $\ int_ de {\ mathbb R_+} {\|\ Gamma (t) \, x \|} ^2 \ mathrm décollement < C$ . < ! -- : : R ₊ de ∫_-->

Voir également

Semigroupe de Schrödinger de
groupe d'Un-paramètre de

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