Bruit blanc

olors de bruit Le bruit blanc est un signal aléatoire (ou processus) avec une densité spectrale de puissance plate de . En d'autres termes, la densité spectrale de la puissance du signal a la puissance égale dans n'importe quelle bande, à n'importe quelle fréquence de centre, ayant une largeur de bande indiquée. Le bruit blanc est considéré analogue à la lumière blanche qui contient toutes les fréquences.

Une infini-largeur de bande, signal de bruit blanc est purement une construction théorique. En ayant la puissance à toutes les fréquences, toute la puissance d'un tel signal est infinie. Dans la pratique, un signal peut être " ; white" ; avec un spectre plat au-dessus d'une bande de fréquence définie.

Propriétés statistiques

Le bruit blanc de limite est également généralement appliqué à un signal de bruit dans le domaine spatial qui a un autocorrélation qui peut être représenté par une fonction de Dirac au-dessus des dimensions appropriées de l'espace. Le signal est alors " ; white" ; dans le domaine de la fréquence spatiale (cela vaut également pour des signaux dans le domaine de pulsation, par exemple, la distribution d'un signal à travers tous les angles dans le ciel de nuit). L'image vers la droite montre une longueur finie, réalisation de temps discret d'un processus de bruit blanc produit à partir d'un ordinateur.

Être non-corrélatif à temps, cependant, ne limite pas les valeurs qu'un signal peut prendre. N'importe quelle distribution des valeurs est possible (bien qu'elle doit avoir le composant zéro de C. Par exemple, un signal binaire qui peut seulement prendre les valeurs 1 ou 0 sera blanc si l'ordre des zéros et ceux est statistiquement non-corrélatif. Ébruiter avoir une distribution continue, telle qu'un de distribution normale, peut naturellement être blanc.

On le suppose inexactement souvent que le bruit gaussien (c., bruit de avec une distribution d'amplitude gaussienne - voir le de distribution normale) est nécessairement le bruit blanc. Cependant, ni l'une ni l'autre propriété n'implique l'autre. Gaussianity se rapporte à la manière que des valeurs de signal sont distribuées, alors que le terme « blanc » se rapporte à la forme de la densité spectrale de puissance plate.

Nous pouvons donc trouver le bruit blanc gaussien, mais également le Poisson, le Cauchy, les bruits blancs etc. Ainsi, le " de deux mots ; Gaussian" ; et " ; white" ; sont souvent tous les deux spécifiques dans les modèles mathématiques des systèmes. Le bruit blanc gaussien est une bonne approximation de beaucoup de situations réelles et produit mathématiquement des modèles menables. Ces modèles sont employés tellement fréquemment que le bruit gaussien blanc additif de limite a une abréviation standard : AWGN . Le bruit blanc gaussien a la propriété statistique utile que ses valeurs sont indépendantes (voir l'indépendance statistique ).

Le bruit blanc est le dérivé généralisé de moyenne carrée du processus de saucisse de ou du mouvement brownien .

Applications

Une utilisation pour le bruit blanc est dans le domaine de l'acoustique architecturale . Afin de dissimuler distrayant, des bruits indésirables dans les espaces intérieurs, un de bas niveau du bruit blanc constant est produits.

Il est employé par quelques sirènes emergency de véhicule dues à sa capacité de couper à travers le bruit de fond et son manque d'écho, qui le facilite pour placer.

Le bruit blanc a été également employé dans la musique électronique , où il est employé ou directement ou comme une entrée pour qu'un filtre crée d'autres types de signal de bruit. À cet égard, c'est l'analogue au violon dans la musique classique . Il est employé intensivement dans la synthèse audio , pour recréer typiquement les instruments par percussion tels que les cymbales qui ont le contenu élevé de bruit dans leur domaine de fréquence.

Il est également employé pour produire des réponses d'impulsion pour installer le EQ pour un concert ou l'autre exécution dans un lieu de rendez-vous, un éclat court du bruit blanc ou rose est envoyée par le système de PA et surveillée de divers points dans le lieu de rendez-vous de sorte que l'ingénieur puisse dire si les acoustiques du bâtiment naturellement amplifient ou coupent n'importe quelles fréquences. Lui ou elle peut alors ajuster l'EQ global pour assurer un mélange équilibré.

extrémité de boîte suffisante

Le bruit blanc peut être employé pour l'essai de réponse en fr3quence des amplificateurs et des filtres électroniques. Il est parfois employé avec un microphone plat de réponse et un égaliseur automatique. L'idée est que le système produira du bruit blanc et le microphone prendra le bruit blanc produit par les haut-parleurs. Elle égalisera alors automatiquement chaque bande de fréquence pour obtenir une réponse plate. Que le système est employé dans l'équipement de niveau professionnel, des quelques autoradios stéréo et quelques à extrémité élevé à la maison à extrémité élevé.

Le bruit blanc est employé comme base de quelques générateurs de nombre aléatoire .

Le bruit blanc peut être employé pour désorienter des individus avant l'interrogation et peut être employé en tant qu'élément des techniques sensorielles de la privation . Les machines de bruit blanc de sont vendues sous le nom de renforceurs d'intimité et dorment des aides et pour masquer l'acouphène . Les Cd de bruit blanc, une fois utilisés avec des écouteurs, peuvent faciliter la concentration en bloquant des bruits dehors irritants ou de gênes dans l'environnement d'une personne.

Définition mathématique

Vecteur aléatoire blanc

Un $de\; vecteur\; \backslash \; mathbf\; alÃ\copyright atoires\; \{W\}$ est un vecteur aléatoire blanc si et seulement si son vecteur de moyen de et matrice de l'autocorrélation sont le suivant :

$\backslash \; mu\_w\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; W\; \backslash \}\; =\; 0$
$R\_\; \{ww\}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; d\text{'}E\; \backslash \; \{\backslash \; ^T\; de\; mathbf\; \{W\}\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; sigma^2\; \backslash \; mathbf\; \{I\}$

C., c'est un vecteur aléatoire moyen zéro, et sa matrice d'autocorrélation est un multiple de la matrice d'identité . Quand la matrice d'autocorrélation est un multiple de l'identité, nous disons qu'elle a la corrélation sphérique.

Processus aléatoire blanc (bruit blanc)

Un $w\; continu\; de\; processus\; alÃ\copyright atoire\; de\; temps\; (t)$ où le $t\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ est un processus de bruit blanc si et seulement si sa fonction moyenne et fonction d'autocorrélation satisfont ce qui suit : $\backslash \; mu\_w\; de\; (t)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{W\; (t)\; \backslash \}\; =\; 0$
$R\_\; \{ww\}\; (t\_1,\; t\_2)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{W\; (t\_1)\; W\; (t\_2)\; \backslash \}\; =\; (N\_\; \{0\}\; /2)\; \backslash \; delta\; (t\_1\; -\; t\_2)$., c'est un processus moyen zéro pendant toute l'heure et a la puissance infinie au décalage de temps zéro puisque sa fonction d'autocorrélation est la fonction de Dirac de Dirac .

La fonction d'autocorrélation ci-dessus implique la densité spectrale de puissance suivante. $S\_\; de\; \{xx\}\; (\backslash \; Omega)\; =\; N\_\; \{0\}\; /2,\; \backslash \; !$

puisque la transformée de Fourier de la fonction de Dirac et est de même égale à 1. Depuis cette densité spectrale de puissance est le même à toutes les fréquences, nous l'appelle blanc comme analogie au spectre de fréquence de de la lumière blanche .

Transformations aléatoires de vecteur

Deux applications théoriques using un vecteur aléatoire blanc sont la simulation de et blanchissant d'un autre vecteur aléatoire arbitraire. Au simuler un vecteur aléatoire arbitraire, nous transforment un vecteur aléatoire blanc avec une matrice soigneusement choisie. Nous choisissons la matrice de transformation de sorte que la matrice de covariance de moyen et du vecteur aléatoire blanc transformé assortisse la matrice de covariance de moyen et du vecteur aléatoire arbitraire que nous simulons. Au blanchir un vecteur aléatoire arbitraire, nous le transforment par une matrice soigneusement choisie différente de sorte que le vecteur aléatoire de rendement soit un vecteur aléatoire blanc.

Ces deux idées sont cruciales dans les applications telles que l'évaluation de la Manche de et l'égalization de la Manche de dans les communications et le audio. Ces concepts sont également employés dans la compression de données .

Simulation d'un vecteur aléatoire

Supposer qu'un $de\; vecteur\; \backslash \; mathbf\; alÃ\copyright atoires\; \{x\}$ a le $K\_\; de\; la\; matrice\; de\; covariance\; \{xx\}$. Puisque cette matrice est le symétrique hermitien et le semi-défini positif, par le théorème spectral de l'algèbre linéaire , nous pouvons diagonalize ou factoriser la matrice de la façon suivante. $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; K\_\; \{xx\}\; =\; E\; \backslash \; lambda\; E^T$

là où $E$ est la matrice orthogonale des vecteurs propres et du $\backslash \; Lambda$ est la matrice diagonale des valeurs propres

Nous pouvons simuler les Äères et 2èmes propriétés du moment de ces $du\; vecteur\; \backslash \; mathbf\; alÃ\copyright atoires\; \{x\}$ avec le $du\; moyen\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\}$ et $K\_\; dematrice\; de\; covariance\{xx\}$ par l'intermédiaire de la transformation suivante d'un $de\; vecteur\; \backslash \; de\; mathbf\; blancs\; \{W\}$ : $de\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; H\; \backslash ,\; \backslash \; +\; du\; mathbf\; \{W\}\; \backslash \; mu$

là où $de\; \backslash ,\; \backslash \; !\; H\; =\; E\; \backslash \; Lambda^\; \{1/2\}$

Ainsi, rendement de ce transformation a espérance

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; x\; \backslash \}\; =\; H\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; d\text{'}E\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; W\; \backslash \}\; +\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; mu$

et covariance matrice

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{(\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; MU)\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; MU)\; ^T\; \backslash \}\; =\; H\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; ^T\; de\; mathbf\; \{W\}\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \backslash \}\; \backslash ,\; H^T\; =\; H\; \backslash ,\; H^T\; =\; E\; \backslash \; Lambda^\; \{\}\; de\; 1/2\; \backslash \; Lambda^\; \{1/2\}\; E^T\; =\; K\_\; \{xx\}$

Blanchiment d'un vecteur aléatoire

La méthode pour blanchir un $de\; vecteur\; \backslash \; mathbf\; \{x\}$ avec le $du\; moyen\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\}$ et $K\_\; de\; la\; matrice\; de\; covariance\; \{xx\}$ est d'exécuter le calcul suivant :

$\backslash \; mathbf\; \{W\}\; =\; \backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; (\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\})$

Ainsi, rendement de ce transformation a espérance

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; W\; \backslash \}\; =\; \backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; (\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; x\; \backslash \}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\})\; =\; \backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; -\; (\backslash \; MU\; \backslash \; MU)\; =\; 0$

et covariance matrice

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; ^T\; de\; mathbf\; \{W\}\; \backslash \; mathbf\; \{W\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{\backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; (\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\})\; (\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\})\; ^T\; E\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash ,\; \backslash \}$
$=\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; d\text{'}E\; \backslash \; \{(\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash le\; MU\})\; (\backslash \; -\; de\; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; MU\})\; ^T\; \backslash \}\; E\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash ,$
$=\; \backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; K\_\; \{xx\}\; E\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}$

Par diagonalizing le $K\_\; \{xx\}$, nous obtenons ce qui suit :

$\backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; \backslash ,\; E^T\; \backslash ,\; E\; \backslash \; lambda\; E^T\; E\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; =\; \backslash \; Lambda^\; \{-\}\; de\; 1/2\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; \backslash \; Lambda^\; \{-\; 1/2\}\; =\; I$

Ainsi, avec la transformation ci-dessus, nous pouvons blanchir le vecteur aléatoire pour avoir zéro moyen et la matrice de covariance d'identité.

Transformations de signal aléatoire

Nous ne pouvons pas prolonger les mêmes deux concepts de la simulation et du blanchiment au cas des signaux aléatoires ou des processus de temps continu. Pour simuler, nous créons un filtre dans lequel nous introduisons un signal de bruit blanc. Nous choisissons le filtre de sorte que le signal de sortie simule les ęrs et 2èmes moments de n'importe quel processus aléatoire arbitraire. Pour blanchir, nous introduisons n'importe quel signal aléatoire arbitraire dans un filtre particulièrement choisi de sorte que le rendement du filtre soit un signal de bruit blanc.

Simulation d'un signal aléatoire de continu-temps

Nous pouvons simuler le tout large-sentons le stationnaire, le continu - chronométrer le $x\; du\; processus\; alÃ\copyright atoire\; (t)\; :\; t\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; R\; \backslash ,\; \backslash \; !$ avec le $constant\; du\; moyen\; \backslash \; mu$ et covariance fonctionnent

$K\_x\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; parti\; \backslash \; \{-\; (de\; x\; (t\_1)\; \backslash \; MU)\; -\; (de\; x\; (t\_2)\; \backslash \; MU)\; ^\; \{*\}\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; \backslash \; mbox\; \{où\}\; \backslash \; tau\; =\; t\_1\; -\; t\_2$

et puissance spectral densité

$S\_x\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; K\_x\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; e^\; \{-\; j\; \backslash \}\; d\text{'}Omega\; \backslash \; tau\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau$

Nous pouvons simuler ce signal using des techniques du domaine de fréquence .

Puisque le $K\_x\; (\backslash \; tau)$ est le symétrique hermitien et le semi-défini positif, il suit que le $S\_x\; (\backslash \; Omega)$ est le vrai et peut être factorisé en tant que $S\_x\; de\; (\backslash \; Omega)\; =\; |\; H\; (\backslash \; Omega)\; |^2\; =\; H\; (\backslash )\; d\text{'}Omega\; \backslash ,\; H^\; \{*\}\; (\backslash \; Omega)$

si et seulement si le $S\_x\; (\backslash \; Omega)$ répond au critère de la Paley-Saucisse .

infty

Si le $S\_x\; (\backslash \; Omega)$ est une fonction raisonnable , nous pouvons alors la factoriser dans le poteau - forme zéro de du en tant que = de $S\_x\; de\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ^\; de\; Pi\_\; \{k=1\}\; \{N\}\; (c\_k\; -\; j\; \backslash \; Omega)\; (\_k\; de\; c^\; \{*\}\; +\; j\; \backslash \; Omega)\}\{\backslash \; \_k\; ^\; de\; Pi\_\; \{k=1\}\; \{D\}\; (d\_k\; -\; j\; \backslash \; Omega)\; (d^\; \{*\}\; +\; j\; \backslash \; Omega)\}$

Choix d'un $H\; minimum\; de\; la\; phase\; (\backslash \; Omega)$ de sorte que ses poteaux et zéros se trouvent à l'intérieur de demi de S-avion gauche , nous pouvons alors simuler le $x\; (t)$ avec $H\; (\backslash \; Omega)$ comme fonction de transfert du filtre.

Nous pouvons simuler le $x\; (t)$ par construisant suivant linéaire , Temps-invariable filtre

$\backslash \; chapeau\; \{x\}\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{F\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; Ã \; gauche\; \backslash \; \{H\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; *\; W\; (t)\; +\; \backslash \; MU$

là où $w\; (t)$ est un continu - le temps, signal de blanc-bruit avec les Äères et 2èmes propriétés suivantes du moment :

$\backslash \; mathbb\; \{\}\; d\text{'}E\; \backslash \; \{W\; (t)\; \backslash \}\; =\; 0$
$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{W\; (t\_1)\; w^\; \{*\}\; (t\_2)\; \backslash \}\; =\; =\; de\; K\_w\; (t\_1,\; t\_2)\; \backslash \; delta\; (t\_1\; -\; t\_2)$

Ainsi, le $de\; signal\; \backslash \; chapeau\; rÃ\copyright sultants\; \{x\}\; (t)$ a les mêmes 2èmes propriétés du moment comme le $x\; dÃ\copyright sirÃ\copyright \; de\; signal\; (t)$.

Blanchiment d'un signal aléatoire de continu-temps

Supposer que nous avons large-sentons le stationnaire, le continu - chronométrer le $x\; du\; processus\; alÃ\copyright atoire\; (t)\; :\; t\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; R\; \backslash ,\; \backslash \; !$ défini avec le même $du\; moyen\; \backslash \; mu$, le $K\_x\; de\; fonction\; de\; la\; covariance\; (\backslash \; tau)$, et le $S\_x\; spectral\; de\; ladensitÃ\copyright de\; puissance\; de\; (\backslash \; Omega)$ comme ci-dessus.

Nous pouvons blanchir ce signal using des techniques du domaine de fréquence . Nous factorisons le $S\_x\; spectral\; de\; densitÃ\copyright \; de\; puissance\; (\backslash \; Omega)$ comme décrit ci-dessus.

Choix du $H\; minimum\; de\; la\; phase\; (\backslash \; Omega)$ de sorte que ses poteaux et zéros se trouvent à l'intérieur de demi de S-avion gauche , nous pouvons alors blanchir le $x\; (t)$ avec = inverse suivant de $H\_\; de\; de\; filtre\; \{inv\}\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{H\; (\backslash \; Omega)\}$

Nous choisissons le filtre minimum de la phase de sorte que le filtre inverse en résultant soit le stable. En plus, nous devons être sûrs que le $H\; (\backslash \; Omega)$ est strictement positif pour tous les $\backslash \; Omega\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{R\}$ de sorte que $H\_\; \{inv\}\; (\backslash \; Omega)$ n'a aucune singularité .

La forme finale du procédé de blanchiment est comme suit :

$w\; (t)\; =\; \backslash \; mathcal\; ^\; \{F\}\; \{-\; 1\}\; \backslash \; laissÃ\copyright \; \backslash \; \{H\_\; \{inv\}\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; *\; (x\; (t)\; -\; \backslash \; MU)$

de sorte que $w\; (t)$ est un processus aléatoire de bruit blanc avec le moyen zéro et constant, la densité spectrale de puissance de d'unité

$S\_\; \{W\}\; (\backslash \; Omega)\; =\; \backslash \; mathcal\; \{\}\; de\; F\; \backslash \; laissÃ\copyright \; \backslash \; \{\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; \{W\; (t\_1)\; W\; (t\_2)\; \backslash \}\; \backslash \; droit\; \backslash \}\; =\; =\; de\; \_\; de\; H\_\; \{inv\}\; (\backslash \; Omega)\; S\_x\; (\backslash \; Omega)\; H^\; \{*\}\; \{inv\}\; (\backslash \; Omega)\; \backslash \; frac\; \{S\_x\; (\backslash \; Omega)\}\{S\_x\; (\backslash \; Omega)\}\; =\; 1$

Noter que cette densité spectrale de puissance de correspond à une fonction de Dirac pour la fonction de la covariance du $w\; (t)$. = de $K\_w\; de\; (\backslash \; tau)\; \backslash ,\; \backslash \; !\; \backslash \; delta\; (\backslash \; tau)$

Voir également

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.

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